Lección 08 — Probabilidad de cumplir el plazo

Aproximación normal por el camino crítico, varianza de las rutas, hitos y rutas casi críticas

Qué se aprende

A pasar de las varianzas de las actividades a la distribución de la duración del proyecto, a calcular la probabilidad de terminar antes de una fecha (o entre dos fechas), la duración que puede comprometerse con una probabilidad dada, y a entender dónde falla la aproximación.

Conceptos

Duración de una ruta. Si las actividades son independientes, la duración de una ruta es la suma de las duraciones de sus actividades, con

\[\mu_r = \sum_{i \in r} D_i, \qquad \sigma_r^2 = \sum_{i \in r} \sigma_i^2 .\]

Por el teorema central del límite, esa suma es aproximadamente normal aunque las actividades no lo sean.

Hipótesis PERT. La duración del proyecto se aproxima por la de la ruta crítica (la de mayor media): \(T \sim N(\mu, \sigma^2)\) con \(\mu\) la duración calculada con las medias y \(\sigma^2\) la varianza de la ruta crítica. Si hay varias rutas críticas se toma la de mayor varianza (la más prudente).

Cálculos con la normal. Con \(z = (t - \mu)/\sigma\) y \(\Phi\) la función de distribución de la normal estándar:

• Probabilidad de terminar en \(t\) o antes: \(P(T \le t) = \Phi(z)\).
• Entre dos fechas: \(P(t_1 < T \le t_2) = \Phi(z_2) - \Phi(z_1)\).
• Duración comprometible con probabilidad \(p\): \(t_p = \mu + z_p\,\sigma\), con \(z_p = \Phi^{-1}(p)\) (\(z_{0.90} = 1.282\), \(z_{0.95} = 1.645\)).
• \(P(T \le \mu) = 0.5\): comprometer la media es jugársela a cara o cruz.

Dónde falla. El proyecto dura lo que la más larga de sus rutas, no lo que la crítica. Si otra ruta tiene media parecida y varianza apreciable, a veces será ella la más larga, y la duración real es mayor que la que dice la normal (sesgo de fusión): el PERT clásico es optimista. La lección 09 lo cuantifica con simulación. Una cota rápida: si dos rutas son independientes, \(P(T \le t) = P(L_1 \le t)\,P(L_2 \le t)\), menor que cualquiera de las dos.

Hitos. Para un hito intermedio (el fin de una actividad \(X\)) se hace lo mismo con las cadenas que llegan a \(X\): media la de la más larga, varianza la de esa cadena. No depende de las actividades que no preceden a \(X\).

Ejemplo guía

Con desviaciones típicas \(\sigma_A = 0.5\), \(\sigma_B = 0.3\), \(\sigma_C = 1.0\), \(\sigma_D = 0.2\), \(\sigma_E = 0.8\), \(\sigma_F = 0.6\), \(\sigma_G = 0.4\):

Ruta	\(\mu_r\)	\(\sigma_r^2\)
A–C–F	3 + 4 + 3 = 10	0.25 + 1.00 + 0.36 = 1.61
A–D–F	7	0.25 + 0.04 + 0.36 = 0.65
B–D–F	6	0.09 + 0.04 + 0.36 = 0.49
B–E–G	6	0.09 + 0.64 + 0.16 = 0.89

\(\mu = 10\), \(\sigma = \sqrt{1.61} = 1.269\).

• \(P(T \le 12) = \Phi\big((12 - 10)/1.269\big) = \Phi(1.576) = 0.942\).
• \(P(9 < T \le 11) = \Phi(0.788) - \Phi(-0.788) = 0.785 - 0.215 = 0.569\).
• Duración para el 95 %: \(10 + 1.645 \times 1.269 = 12.09\) semanas.
• Garantizar 10 semanas con el 95 % es imposible sin cambiar el proyecto: \(P(T \le 10) = 0.5\).

Aquí las otras rutas están lejos (7 y 6 frente a 10) y la aproximación es buena. Si la segunda ruta midiera 9 con \(\sigma = 2\), la probabilidad real de terminar en 12 sería claramente menor que 0.94.

Con pmULE

datos['variance'] = datos['standard_deviation'] ** 2
mu = proyecto.duration(datos['duration'])
sigma, tabla = proyecto.standard_deviation(durations=datos['duration'], variances=datos['variance'])
from scipy.stats import norm
p = norm.cdf((plazo - mu) / sigma)
t_95 = mu + norm.ppf(0.95) * sigma

Para ver la varianza de todas las rutas: R = proyecto.path_matrix(dummies=False) y R @ datos['variance'][R.columns].

Errores frecuentes

• Sumar desviaciones típicas en lugar de varianzas.
• Usar la varianza de una ruta que no es la crítica (o de todas las actividades del proyecto).
• Olvidar que \(P(T \le \mu) = 0.5\) y comprometer la media «porque es lo calculado».
• Fiarse de la normal cuando hay rutas casi críticas con mucha varianza.

Qué practica cada variante

normal: media, varianza y desviación del proyecto; \(P(T \le t)\), \(P(t_1 < T \le t_2)\), duración comprometible; por qué no se puede garantizar la media. dos-rutas-criticas: qué ruta aporta la varianza cuando hay empate. casi-critica-variable: una segunda ruta casi crítica mucho más variable; cota de la probabilidad y simulación. varianza-maxima: inverso, qué desviación admite una actividad para mantener una probabilidad. diagnostico: una resolución con desviaciones sumadas y ruta equivocada. hito: probabilidad de alcanzar un hito intermedio. ser-critica: dos cadenas paralelas, probabilidad de que la no crítica resulte la más larga y probabilidad exacta frente a PERT.