cadena de 8 actividades; colchón 15 (cortar y pegar) frente a 12 (raíz)
Enunciado
Un proyecto se programa con el método de la cadena crítica. Para cada actividad, su responsable ha dado una estimación segura (con la que cumpliría aproximadamente nueve de cada diez veces, el percentil 90) y una estimación agresiva pero alcanzable (la mediana, el percentil 50), ambas en días. Las actividades no comparten recursos y los colchones se redondean al día superior.
Determine la cadena crítica con las estimaciones agresivas, su duración y el margen retirado de cada una de sus actividades.
Calcule el colchón del proyecto por el método de cortar y pegar y por el de la raíz de la suma de cuadrados.
Suponga que la duración de cada actividad de la cadena es normal, independiente de las demás, con media su estimación agresiva y con la estimación segura como percentil 90, de modo que σ = margen/1,2816. ¿Con qué probabilidad termina la cadena en su duración más el colchón, con cada uno de los dos métodos?
Si una cadena tuviera n actividades con el mismo margen m (tome el margen medio de esta cadena), ¿cómo crecen los dos colchones con n? ¿A partir de qué n es mayor el de cortar y pegar? ¿Qué método sobreprotege las cadenas largas y cuál protege mejor las cortas?
Tabla 1: Cuadro de datos del enunciado (días)
predecessor
agresiva
segura
activity
A
---
4
7
B
---
3
5
C
B
9
12
D
C
9
15
E
D
3
5
F
E
8
13
G
E
7
10
H
F,G
8
13
I
A,H
6
10
J
I
6
9
Resolución
Apartado 1
Determine la cadena crítica con las estimaciones agresivas, su duración y el margen retirado de cada una de sus actividades.
Figura 1: Grafo PERT con las estimaciones agresivas y la cadena crítica
Cálculo de los tiempos tempranos y tardíos de los sucesos paso a paso (avance con los botones):
paso 0 de 33
Tabla 2: Duración de cada ruta con las estimaciones agresivas
Cortar y pegar: 15 días; raíz de la suma de cuadrados: 12 días.
Apartado 3
Suponga que la duración de cada actividad de la cadena es normal, independiente de las demás, con media su estimación agresiva y con la estimación segura como percentil 90, de modo que σ = margen/1,2816. ¿Con qué probabilidad termina la cadena en su duración más el colchón, con cada uno de los dos métodos?
Con duraciones normales, la de la cadena es normal con media la suma de las medias (la duración agresiva de la cadena, \(T\)) y varianza la suma de las varianzas, \(\sigma_C^2 = \sum_i (m_i/1{,}2816)^2\). La probabilidad de cumplir \(T + CP\) es \(\Phi(CP/\sigma_C)\).
B
C
D
E
F
H
I
J
σ = margen/1,2816
1.561
2.341
4.682
1.561
3.901
3.901
3.121
2.341
σ²
2.435
5.479
21.918
2.435
15.221
15.221
9.741
5.479
σ de la cadena = √77.930 = 8.828 días (que es la raíz de la suma de cuadrados de los márgenes dividida por 1,2816: 11.314/1,2816).
Tabla 5: Probabilidad de terminar la cadena en T + CP
cortar y pegar
raíz
colchón
15
12
fecha T + CP
67
64
z = CP/σ
15/8.828 = 1.699
12/8.828 = 1.359
P = Φ(z)
0.9554
0.913
Sin redondear, el colchón de la raíz es exactamente \(1{,}2816\,\sigma_C\): da la probabilidad 0,90 que se buscaba en cada actividad, ahora para la cadena completa (el redondeo al día superior la sube algo). El de cortar y pegar no tiene un nivel de confianza fijo: depende del número de actividades. El cálculo ignora las cadenas de alimentación, que se protegen con sus propios colchones.
Apartado 4
Si una cadena tuviera n actividades con el mismo margen m (tome el margen medio de esta cadena), ¿cómo crecen los dos colchones con n? ¿A partir de qué n es mayor el de cortar y pegar? ¿Qué método sobreprotege las cadenas largas y cuál protege mejor las cortas?
Tabla 6: Colchones y probabilidad de cumplir para n actividades de margen medio m
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
cortar y pegar = n·m/2
1.875
3.750
5.625
7.5
9.375
11.250
13.125
15.000
16.875
18.750
20.625
22.500
raíz = √n·m
3.750
5.303
6.495
7.5
8.385
9.186
9.922
10.607
11.250
11.859
12.437
12.990
P con cortar y pegar = Φ(1,2816·√n/2)
0.739
0.818
0.866
0.9
0.924
0.942
0.955
0.965
0.973
0.979
0.983
0.987
P con raíz
0.900
0.900
0.900
0.9
0.900
0.900
0.900
0.900
0.900
0.900
0.900
0.900
Con m = 3.75 días, cortar y pegar crece linealmente (n·m/2) y la raíz como √n·m. Son iguales cuando n/2 = √n, es decir, n = 4: con más de cuatro actividades cortar y pegar da un colchón mayor, y su probabilidad de cumplir se acerca a 1 (sobreprotege las cadenas largas, a costa de alargar el compromiso); con menos de cuatro da un colchón menor que la raíz y protege menos del 90 % (con n = 2, P = 0.82). Esta cadena tiene 8 actividades: cortar y pegar le asigna 3 días más que la raíz.
Autoevaluación
Preguntas de respuesta múltiple con los datos de este ejercicio (la correcta, marcada con ✅, es la primera de cada lista). La celda las exporta también en formato GIFT, con las opciones barajadas, a ~/temp/cuestionario_cadena_critica.gift, para importarlas en Moodle.
1. Si cada actividad de la cadena es normal con la estimación segura como percentil 90, ¿cuánto vale la desviación típica de la cadena?
✅ 8,83 días
◻️ 23,41 días
◻️ 11,31 días
◻️ 2,93 días
σ = √(Σ márgenes²)/1,2816 = 11,314/1,2816 = 8,83 días: se suman las varianzas, no las desviaciones.
2. ¿Con qué probabilidad se termina la cadena en su duración más el colchón de cortar y pegar?
✅ 0,955
◻️ 0,913
◻️ 0,900
◻️ 0,500
P = Φ(CP/σ) = Φ(15/8,828) = 0,955.
3. Para una cadena de n actividades con el mismo margen, ¿cuándo da cortar y pegar un colchón mayor que la raíz de la suma de cuadrados?
✅ con más de 4 actividades
◻️ con más de 2 actividades
◻️ con más de 9 actividades
◻️ nunca: siempre da un colchón menor
n·m/2 = √n·m cuando √n = 2, es decir, n = 4; a partir de ahí cortar y pegar crece más deprisa.
