Enunciado
Una empresa va a ejecutar el proyecto de inversión cuyo cuadro de prelaciones se adjunta, con la duración esperada de cada actividad (meses), sus tres estimaciones (optimista \(a\), más probable \(m\), pesimista \(b\), con distribución triangular) y su presupuesto (BAC, k€). El coste de cada actividad se desembolsa uniformemente a lo largo de su duración. Cuando el proyecto termina, la instalación genera un flujo de caja neto mensual de 30 k€ durante 48 meses, pero ese flujo es incierto: entre 20 y 40 k€ (triangular simétrica). La empresa descuenta al 8% anual.
- Con las duraciones esperadas, calcule el calendario, el camino crítico y el VAN determinista del proyecto (flujo mensual, tasa mensual equivalente).
- Simule 5 000 réplicas: duraciones triangulares e ingreso mensual incierto. De cada réplica obtenga la duración del proyecto y su VAN. Dibuje los histogramas y calcule la media, la desviación típica, P(VAN < 0) y el percentil 5 %.
- ¿Por qué la media del VAN simulado no coincide con el VAN determinista? Separe los dos efectos simulando por separado solo la incertidumbre de las duraciones y solo la del ingreso.
- ¿Qué variables explican la variabilidad del VAN? Calcule la correlación de Spearman del VAN con cada duración y con el ingreso, y compárela con el índice de criticidad de cada actividad. ¿Hay alguna actividad cuya demora mejore el VAN? ¿Por qué?
- La empresa puede (a) encargar un estudio de mercado que fije el ingreso en su valor central, o (b) contratar a un subcontratista que fije la duración de la actividad más influyente en su valor esperado. Evalúe qué cambia con cada opción (y con ambas) en la media, la desviación y P(VAN < 0), y qué compra realmente cada una.
El proyecto corresponde a la organización de un congreso científico; las actividades son las siguientes (las duraciones del cuadro están en semanas).
Resolución
Apartado 1
- Con las duraciones esperadas, calcule el calendario, el camino crítico y el VAN determinista del proyecto (flujo mensual, tasa mensual equivalente).
Cálculo de los tiempos mínimos y máximos de los nodos del grafo Roy paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):
Duración 18 meses; actividades críticas: A, E, G. Inversión Σ BAC = 950 k€. Con k mensual = 0.6434%, el VAN determinista es 195.5 k€.
Apartado 2
- Simule 5 000 réplicas: duraciones triangulares e ingreso mensual incierto. De cada réplica obtenga la duración del proyecto y su VAN. Dibuje los histogramas y calcule la media, la desviación típica, P(VAN < 0) y el percentil 5 %.
| VAN |
193.28 |
148.46 |
-57.23 |
191.97 |
442.64 |
0.11 |
-94.22 |
La duración media es 18.16 meses frente a 18 del plan; el VAN medio es 193.3 k€ (determinista 195.5), con desviación 148.5. P(VAN < 0) = 11.1% y el percentil 5 % es -57.2 k€.
Apartado 3
- ¿Por qué la media del VAN simulado no coincide con el VAN determinista? Separe los dos efectos simulando por separado solo la incertidumbre de las duraciones y solo la del ingreso.
| VAN determinista |
195.534 |
0.000 |
0.000 |
| solo duraciones inciertas |
194.408 |
10.662 |
0.000 |
| solo ingreso incierto |
191.421 |
150.228 |
0.115 |
| ambas |
193.281 |
148.461 |
0.111 |
La incertidumbre del ingreso (simétrica y lineal en el VAN) ensancha la distribución pero no mueve la media: 191.4 ± 4.2 (dos errores estándar de simulación) frente a 195.5. Las duraciones sí la bajan, hasta 194.4 ± 0.3: el proyecto termina cuando termina el último camino, así que la duración media es 18.16 > 18 (caminos casi críticos que se fusionan) y cada mes de retraso retrasa un flujo descontado. Es el mismo sesgo de la aproximación normal, ahora medido en k€.
Apartado 4
- ¿Qué variables explican la variabilidad del VAN? Calcule la correlación de Spearman del VAN con cada duración y con el ingreso, y compárela con el índice de criticidad de cada actividad. ¿Hay alguna actividad cuya demora mejore el VAN? ¿Por qué?
| ingreso mensual |
0.997 |
NaN |
| duración G |
-0.049 |
0.963 |
| duración E |
-0.044 |
0.848 |
| duración C |
0.026 |
0.037 |
| duración A |
-0.025 |
0.848 |
| duración F |
-0.015 |
0.115 |
| duración B |
0.011 |
0.115 |
| duración H |
0.008 |
0.037 |
Mandan el ingreso y las actividades con alto índice de criticidad (su retraso retrasa el cobro). Con correlación positiva apreciable: [‘duración C’]. Una actividad con holgura que se alarga no retrasa el cobro y desplaza el pago de su BAC hacia meses más descontados, por lo que puede mejorar ligeramente el VAN; el efecto es pequeño.
Apartado 5
- La empresa puede (a) encargar un estudio de mercado que fije el ingreso en su valor central, o (b) contratar a un subcontratista que fije la duración de la actividad más influyente en su valor esperado. Evalúe qué cambia con cada opción (y con ambas) en la media, la desviación y P(VAN < 0), y qué compra realmente cada una.
| sin hacer nada |
193.281 |
148.461 |
0.111 |
-94.217 |
| (a) fijar el ingreso |
194.408 |
10.662 |
0.000 |
172.393 |
| (b) fijar la duración de G |
193.240 |
148.360 |
0.112 |
-94.142 |
| (a) y (b) |
194.377 |
10.257 |
0.000 |
173.348 |
La actividad más influyente es G. Fijar el ingreso o una duración cambia poco el VAN medio (193.3 → entre 193.2 y 194.4): lo que compra es seguridad. La opción que más reduce P(VAN < 0) es (a) fijar el ingreso. Si la empresa es neutral al riesgo, solo vale la pena pagar por lo que sube la media; si le preocupa la cola (P(VAN < 0), CVaR), se paga por reducir dispersión.
