Enunciado
Con \(\tau = \lVert R\,t \rVert_\infty\), la sensibilidad de la duración del proyecto a cada actividad es el gradiente \(\partial\tau/\partial t_i\). Considere el proyecto cuyo cuadro se adjunta, que tiene más de una ruta crítica.
- Construya R, calcule R·t y determine las rutas críticas.
- Calcule ∂τ/∂t_i para cada actividad como la media de los vectores indicadores de las rutas críticas (lo que da
tau_sensitivity). ¿Qué valores aparecen y qué significan 1, 0 y los intermedios?
- Compruebe por diferencias finitas, para una actividad de cada clase, qué ocurre con τ al aumentar y al disminuir su duración en un día. ¿Por qué la derivada «no existe» en las actividades intermedias?
- Demuestre que la suma de las sensibilidades es la longitud (en número de actividades) media de las rutas críticas y compruébelo.
El proyecto corresponde a la apertura de una clínica veterinaria; las actividades son las siguientes (las duraciones del cuadro están en semanas).
Resolución
Apartado 1
- Construya R, calcule R·t y determine las rutas críticas.
Cálculo de los tiempos mínimos y máximos de los nodos del grafo Roy paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):
| Route_1 |
A - E - H |
11 |
| Route_2 |
B - D - F - G - H |
26 |
| Route_3 |
B - E - H |
12 |
| Route_4 |
C - D - F - G - H |
26 |
| Route_5 |
C - E - H |
12 |
τ = 26; rutas críticas: Route_2, Route_4.
Apartado 2
- Calcule ∂τ/∂t_i para cada actividad como la media de los vectores indicadores de las rutas críticas (lo que da
tau_sensitivity). ¿Qué valores aparecen y qué significan 1, 0 y los intermedios?
| Route_2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
| Route_4 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
| ∂τ/∂t (media de indicadores) |
0.0 |
0.5 |
0.5 |
1.0 |
0.0 |
1.0 |
1.0 |
1.0 |
| tau_sensitivity |
0.0 |
0.5 |
0.5 |
1.0 |
0.0 |
1.0 |
1.0 |
1.0 |
Valor 1: la actividad está en todas las rutas críticas (alargarla o acortarla cambia τ uno a uno). Valor 0: no está en ninguna (τ no cambia, al menos para cambios pequeños). Valor intermedio, por ejemplo 0,5: está en una de las dos rutas críticas; alargarla sí alarga el proyecto, pero acortarla no lo acorta, porque la otra ruta sigue midiendo lo mismo.
Apartado 3
- Compruebe por diferencias finitas, para una actividad de cada clase, qué ocurre con τ al aumentar y al disminuir su duración en un día. ¿Por qué la derivada «no existe» en las actividades intermedias?
| A |
0.0 |
0.0 |
0.0 |
| B |
0.5 |
1.0 |
0.0 |
| D |
1.0 |
1.0 |
-1.0 |
Para las actividades con valor intermedio la pendiente por la derecha (+1) y por la izquierda (0) son distintas: τ es un máximo de funciones lineales y en los puntos donde dos rutas empatan tiene una esquina. La media de los indicadores es un subgradiente, no una derivada: el valor que reparte la sensibilidad entre las rutas empatadas.
Apartado 4
- Demuestre que la suma de las sensibilidades es la longitud (en número de actividades) media de las rutas críticas y compruébelo.
Σ_i ∂τ/∂t_i = Σ_i (1/k) Σ_{r crítica} R_ri = (1/k) Σ_r Σ_i R_ri = media del número de actividades de las rutas críticas. Aquí Σ = 5.00 y la longitud media de las 2 rutas críticas es 5.00.