Enunciado
Considere el proyecto cuyo cuadro de prelaciones y duraciones (días) se adjunta. Durante la revisión del plan se descubre que la actividad D no puede empezar hasta que termine G: hay que añadir esa prelación.
- Construya la matriz de rutas \(R\) del proyecto original y calcule \(\tau = \lVert R\,t \rVert_\infty\).
- Razone, sin recalcular todo, qué le ocurre a \(R\) al añadir la prelación G → D: ¿qué rutas dejan de serlo (quedan «absorbidas» por otras más largas) y qué rutas nuevas aparecen?
- Construya la matriz de rutas del proyecto modificado y compruebe su razonamiento. Calcule el nuevo τ y la nueva ruta crítica.
- ¿Puede añadir una prelación reducir τ? ¿Y aumentar el número de rutas? Justifíquelo con \(R\).
El proyecto corresponde a la producción de un cortometraje; las actividades son las siguientes (las duraciones del cuadro están en días).
Resolución
Apartado 1
- Construya la matriz de rutas \(R\) del proyecto original y calcule \(\tau = \lVert R\,t \rVert_\infty\).
Cálculo de los tiempos tempranos y tardíos de los sucesos y de las holguras totales paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):
τ = ‖R·t‖∞ = 21 (ruta Route_4: B - E - G).
Apartado 2
- Razone, sin recalcular todo, qué le ocurre a \(R\) al añadir la prelación G → D: ¿qué rutas dejan de serlo (quedan «absorbidas» por otras más largas) y qué rutas nuevas aparecen?
Añadir G → D crea un arco nuevo. Aparecen rutas nuevas: las que llegan hasta G por cualquier camino (prefijos), saltan a D y continúan desde D hasta el final (sufijos): hasta «número de prefijos × número de sufijos» filas nuevas. Las rutas antiguas siguen existiendo, salvo una excepción: si alguna prelación antigua q → D se vuelve redundante (porque q es antecesora de G), el cuadro depurado la elimina y las rutas que usaban ese salto directo desaparecen, absorbidas por rutas nuevas que pasan por q, …, G, D y son más largas. Y si G era final (o D inicial), las rutas que terminaban en G (o empezaban en D) dejan de serlo: se prolongan a través del nuevo arco. En la práctica \(R\) gana filas y puede perder alguna.
Rutas por G: Route_4; rutas por D: Route_1, Route_2, Route_5. Se esperan hasta 1 × 3 = 3 combinaciones prefijo-sufijo (menos las repetidas).
Apartado 3
- Construya la matriz de rutas del proyecto modificado y compruebe su razonamiento. Calcule el nuevo τ y la nueva ruta crítica.
| Route_1 |
A - D - F |
13 |
| Route_2 |
B - E - G - D - F |
29 |
| Route_3 |
C - D - F |
10 |
Rutas que desaparecen: B - D - F; B - E - F; B - E - G.
Rutas nuevas: B - E - G - D - F.
Nuevo τ = 29 (antes 21); ruta crítica Route_2: B - E - G - D - F.
Cálculo de los tiempos tempranos y tardíos de los sucesos y de las holguras totales paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):
Apartado 4
- ¿Puede añadir una prelación reducir τ? ¿Y aumentar el número de rutas? Justifíquelo con \(R\).
Añadir una prelación nunca reduce τ: cada ruta nueva contiene como subconjunto de actividades a alguna combinación que ya restringía el proyecto, y las rutas que desaparecen son las contenidas en alguna ruta nueva (su suma de duraciones es menor o igual). Formalmente, para cada fila antigua \(r\) existe una fila nueva \(r'\) con \(R'_{r'} \ge R_r\) componente a componente, luego \(\max R' t \ge \max R t\). El número de rutas sí puede crecer (producto de prefijos por sufijos) o decrecer (si muchas quedan absorbidas): \(R\) no es monótona en tamaño, sólo en lo que restringe.