MonteCarlo 15

9 actividades; 4 expuestas a un factor común (σ_F = 0.15)

Enunciado

Considere el proyecto cuyo cuadro de prelaciones, duraciones medias y desviaciones típicas (en semanas) se adjunta. Las actividades marcadas como expuestas se realizan al aire libre: su duración depende además de un factor meteorológico común \(F\) de media 1 y desviación típica 0.15 (si la temporada es mala, \(F > 1\) y todas ellas se alargan a la vez). La duración de una actividad expuesta es \(F \cdot X\), con \(X\) normal de la media y desviación del cuadro; las no expuestas son normales independientes.

  1. Calcule la duración del proyecto y el camino crítico con las duraciones medias.
  1. Simule 10000 réplicas suponiendo todas las duraciones independientes (ignorando \(F\)) y obtenga la media, la desviación típica y la probabilidad de terminar en 38 semanas o menos.
  1. Repita la simulación con el factor común: en cada réplica se sortea un único valor de \(F\) que multiplica a todas las actividades expuestas. Compare media, desviación típica, percentil 95 y P(T ≤ 38).
  1. ¿Por qué la correlación positiva aumenta la dispersión de la duración del proyecto aunque apenas cambie la media? ¿Qué ocurre con la criticidad de las rutas?
Tabla 1: Cuadro de datos del enunciado
predecessor duration standard_deviation exposed
activity
A --- 5 0.8 sí
B --- 3 0.8 no
C A,B 8 1.0 no
D C 8 0.5 no
E C 5 0.8 no
F D 5 1.0 sí
G E,F 5 0.8 sí
H D 8 0.3 no
I F,H 7 0.2 sí

El proyecto corresponde al lanzamiento de una aplicación móvil; las actividades son las siguientes (las duraciones del cuadro están en semanas).

Tabla 2: Descripción de las actividades
Descripción
A Estudio de requisitos
B Diseño de la arquitectura
C Diseño de interfaz y prototipo
D Base de datos y modelo
E API del servidor
F Pantallas principales
G Módulo de pagos
H Notificaciones y sincronización
I Pruebas de integración

Resolución

Apartado 1

  1. Calcule la duración del proyecto y el camino crítico con las duraciones medias.

Cálculo de los tiempos mínimos y máximos de los nodos del grafo Roy paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):

paso 0 de 24
Figura 1: Grafo Roy con el camino crítico
  • Route_3 : A, C, D, H, I

Duración media del proyecto: 36 semanas. Actividades expuestas al factor común: A, F, G, I.

Tabla 3: Duración media de cada ruta y actividades expuestas que contiene
actividades duración media = suma duración media expuestas en la ruta
Route_1 A - C - D - F - G A(5) + C(8) + D(8) + F(5) + G(5) = 31 31.0 A, F, G
Route_2 A - C - D - F - I A(5) + C(8) + D(8) + F(5) + I(7) = 33 33.0 A, F, I
Route_3 A - C - D - H - I A(5) + C(8) + D(8) + H(8) + I(7) = 36 36.0 A, I
Route_4 A - C - E - G A(5) + C(8) + E(5) + G(5) = 23 23.0 A, G
Route_5 B - C - D - F - G B(3) + C(8) + D(8) + F(5) + G(5) = 29 29.0 F, G
Route_6 B - C - D - F - I B(3) + C(8) + D(8) + F(5) + I(7) = 31 31.0 F, I
Route_7 B - C - D - H - I B(3) + C(8) + D(8) + H(8) + I(7) = 34 34.0 I
Route_8 B - C - E - G B(3) + C(8) + E(5) + G(5) = 21 21.0 G

Apartado 2

  1. Simule 10000 réplicas suponiendo todas las duraciones independientes (ignorando \(F\)) y obtenga la media, la desviación típica y la probabilidad de terminar en 38 semanas o menos.
media desviación típica percentil 95 P(T ≤ 38) (%)
independientes 36.0 1.426 38.358 91.74

Apartado 3

  1. Repita la simulación con el factor común: en cada réplica se sortea un único valor de \(F\) que multiplica a todas las actividades expuestas. Compare media, desviación típica, percentil 95 y P(T ≤ 38).

Se reutilizan las mismas duraciones normales \(X\) y se multiplica cada fila (réplica) de las actividades expuestas por un valor de \(F\) común a toda la fila. Así la única diferencia entre las dos simulaciones es la correlación introducida por \(F\).

independientes con factor común
media 36.000 36.009
desviación típica 1.426 2.245
percentil 95 38.358 39.792
P(T ≤ 38) (%) 91.740 81.540
Tabla 4: Correlación entre las duraciones de dos actividades expuestas
independientes con factor común
corr(A, F) 0.003 0.393
Figura 2: Distribución de la duración con y sin factor común

Apartado 4

  1. ¿Por qué la correlación positiva aumenta la dispersión de la duración del proyecto aunque apenas cambie la media? ¿Qué ocurre con la criticidad de las rutas?
actividades criticidad indep. (%) criticidad con F (%)
Route_1 A - C - D - F - G 0.0 0.0
Route_2 A - C - D - F - I 0.1 1.4
Route_3 A - C - D - H - I 95.9 91.9
Route_4 A - C - E - G 0.0 0.0
Route_5 B - C - D - F - G 0.0 0.0
Route_6 B - C - D - F - I 0.0 0.0
Route_7 B - C - D - H - I 4.0 6.6
Route_8 B - C - E - G 0.0 0.0

La varianza de una suma de variables correlacionadas positivamente es mayor que la suma de sus varianzas (se añaden los términos \(2\,\mathrm{cov}\)): cuando \(F\) sale alto, todas las actividades expuestas se alargan a la vez y no se compensan unas con otras. La media casi no cambia (la de \(F\) es 1), pero las colas se ensanchan: el percentil 95 sube y la probabilidad de cumplir el plazo baja. Las rutas con más actividades expuestas ganan criticidad. Suponer independencia, como hace el PERT clásico, es optimista en presencia de causas comunes de retraso.