MonteCarlo 14

8 actividades; convergencia de la media y del percentil 90 con N

Enunciado

Considere el proyecto cuyo cuadro de prelaciones, duraciones medias y desviaciones típicas (semanas, distribución normal) se adjunta. Se quiere saber cuántas réplicas de Monte Carlo hacen falta para estimar con precisión la duración del proyecto.

  1. Construya la matriz de rutas y simule el proyecto con N = 20, 200, 2 000 y 20 000 réplicas. Anote en cada caso la media, la desviación típica, el percentil 90 y la probabilidad de terminar en 33 semanas.
  1. Repita cada simulación 10 veces con semillas distintas y calcule la dispersión (desviación típica) de la media estimada entre repeticiones. ¿Cómo decrece con N?
  1. Compare esa dispersión con la fórmula del error típico de la media, σ/√N. ¿Cuántas réplicas hacen falta para que el error de la media sea menor de 0,1 semanas?
  1. ¿Necesita el percentil 90 más o menos réplicas que la media para la misma precisión? ¿Por qué?
Tabla 1: Cuadro de datos del enunciado
predecessor duration standard_deviation
activity
A --- 7 0.8
B --- 5 0.3
C A,B 8 0.1
D C 8 0.3
E A 2 0.6
F D,E 8 0.3
G D 2 0.4
H E,G 7 0.2

Resolución

Apartado 1

  1. Construya la matriz de rutas y simule el proyecto con N = 20, 200, 2 000 y 20 000 réplicas. Anote en cada caso la media, la desviación típica, el percentil 90 y la probabilidad de terminar en 33 semanas.

Cálculo de los tiempos mínimos y máximos de los nodos del grafo Roy paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):

paso 0 de 22
Figura 1: Grafo Roy con las duraciones medias y el camino crítico
Tabla 2: Matriz de rutas
👆 Interactivo: haz clic en una fila de la matriz para resaltar en el grafo las actividades y los nodos de esa ruta (otro clic la deselecciona).
Tabla 3: Media y varianza de cada ruta (sumas de las de sus actividades)
actividades duración media = suma duración media varianza = suma varianza
Route_1 A - C - D - F A(7) + C(8) + D(8) + F(8) = 31 31.0 A(0.64) + C(0.01) + D(0.09) + F(0.09) = 0.83 0.83
Route_2 A - C - D - G - H A(7) + C(8) + D(8) + G(2) + H(7) = 32 32.0 A(0.64) + C(0.01) + D(0.09) + G(0.16) + H(0.04... 0.94
Route_3 A - C - D - H A(7) + C(8) + D(8) + H(7) = 30 30.0 A(0.64) + C(0.01) + D(0.09) + H(0.04) = 0.78 0.78
Route_4 A - E - F A(7) + E(2) + F(8) = 17 17.0 A(0.64) + E(0.36) + F(0.09) = 1.09 1.09
Route_5 A - E - H A(7) + E(2) + H(7) = 16 16.0 A(0.64) + E(0.36) + H(0.04) = 1.04 1.04
Route_6 B - C - D - F B(5) + C(8) + D(8) + F(8) = 29 29.0 B(0.09) + C(0.01) + D(0.09) + F(0.09) = 0.28 0.28
Route_7 B - C - D - G - H B(5) + C(8) + D(8) + G(2) + H(7) = 30 30.0 B(0.09) + C(0.01) + D(0.09) + G(0.16) + H(0.04... 0.39
Route_8 B - C - D - H B(5) + C(8) + D(8) + H(7) = 28 28.0 B(0.09) + C(0.01) + D(0.09) + H(0.04) = 0.23 0.23

Cada réplica es un vector de duraciones normales; la duración de cada ruta es R·t y la del proyecto, el máximo. Para cada tamaño N se repite el mismo cálculo con más columnas.

media desviación típica percentil 90 P(T ≤ 33)
20 31.918 0.881 33.284 0.850
200 32.044 1.011 33.317 0.810
2000 31.993 0.945 33.250 0.856
20000 32.013 0.950 33.241 0.850

Apartado 2

  1. Repita cada simulación 10 veces con semillas distintas y calcule la dispersión (desviación típica) de la media estimada entre repeticiones. ¿Cómo decrece con N?
dispersión de la media dispersión del percentil 90
20 0.2923 0.3982
200 0.1006 0.1678
2000 0.0249 0.0288
20000 0.0067 0.0152

Al multiplicar N por 10 la dispersión se divide aproximadamente por √10 ≈ 3,16.

Apartado 3

  1. Compare esa dispersión con la fórmula del error típico de la media, σ/√N. ¿Cuántas réplicas hacen falta para que el error de la media sea menor de 0,1 semanas?
dispersión de la media dispersión del percentil 90 σ/√N
20 0.2923 0.3982 0.2125
200 0.1006 0.1678 0.0672
2000 0.0249 0.0288 0.0212
20000 0.0067 0.0152 0.0067

Con σ_τ ≈ 0.95, para un error típico de 0,1 semanas hacen falta N ≥ (σ/0,1)² ≈ 91 réplicas.

Apartado 4

  1. ¿Necesita el percentil 90 más o menos réplicas que la media para la misma precisión? ¿Por qué?

El percentil 90 se estima con las réplicas de la cola, que son pocas (el 10 % de N), y su error es mayor que el de la media para el mismo N; la tabla de dispersiones lo muestra. Por eso las decisiones basadas en percentiles altos (plazos comprometidos al 90–95 %) necesitan más réplicas que las basadas en la media.