Enunciado
Considere el proyecto cuyo cuadro de prelaciones y estimaciones optimista, más probable y pesimista (en semanas) se adjunta. Suponga que la duración de cada actividad sigue una distribución triangular de parámetros \((a, m, b)\).
- Dibuje el grafo PERT, construya la matriz de caminos y calcule la duración del proyecto con las duraciones medias.
- Genere 10000 réplicas de las duraciones de las actividades y, con la matriz de caminos, obtenga la duración del proyecto en cada una. Calcule su media, desviación típica y percentiles 5, 50 y 95.
- Calcule la probabilidad de terminar en 37 semanas o menos y la duración que puede comprometerse con un 90% de probabilidad. Compare con la aproximación normal por el camino crítico y explique las diferencias.
- Calcule el índice de criticidad de cada ruta y de cada actividad. ¿Qué actividad no crítica convendría vigilar?
El proyecto corresponde a la puesta en marcha de una línea de envasado; las actividades son las siguientes (las duraciones del cuadro están en semanas).
Resolución
Para la distribución triangular la media es \((a + m + b)/3\) y la varianza \((a^2 + m^2 + b^2 - ab - am - bm)/18\).
| activity |
|
|
|
|
|
|
|
| A |
--- |
1 |
3 |
5 |
3 |
0.666667 |
0.816497 |
| B |
--- |
5 |
7 |
9 |
7 |
0.666667 |
0.816497 |
| C |
--- |
6 |
8 |
10 |
8 |
0.666667 |
0.816497 |
| D |
A,B,C |
4 |
7 |
10 |
7 |
1.500000 |
1.224745 |
| E |
D |
2 |
5 |
8 |
5 |
1.500000 |
1.224745 |
| F |
E |
6 |
9 |
9 |
8 |
0.500000 |
0.707107 |
| G |
F |
4 |
7 |
10 |
7 |
1.500000 |
1.224745 |
| H |
F |
4 |
9 |
11 |
8 |
2.166667 |
1.471960 |
Apartado 1
- Dibuje el grafo PERT, construya la matriz de caminos y calcule la duración del proyecto con las duraciones medias.
Cálculo de los tiempos mínimos y máximos de los nodos del grafo Roy paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):
| Route_1 |
30 |
5.666667 |
| Route_2 |
31 |
6.333333 |
| Route_3 |
34 |
5.666667 |
| Route_4 |
35 |
6.333333 |
| Route_5 |
35 |
5.666667 |
| Route_6 |
36 |
6.333333 |
Con las duraciones medias el proyecto dura 36 semanas; la ruta crítica es Route_6 y su desviación típica 2.517.
Apartado 2
- Genere 10000 réplicas de las duraciones de las actividades y, con la matriz de caminos, obtenga la duración del proyecto en cada una. Calcule su media, desviación típica y percentiles 5, 50 y 95.
Cada réplica es un vector de duraciones generado con la distribución triangular de mínimo \(a\), moda \(m\) y máximo \(b\) (cuando \(a = m = b\) la duración es fija).
La duración de cada ruta en cada réplica es el producto de las duraciones por la traspuesta de la matriz de caminos; la del proyecto, el máximo por filas.
| 0 |
28.64 |
30.22 |
34.81 |
36.39 |
37.04 |
38.62 |
38.62 |
| 1 |
32.18 |
31.42 |
36.86 |
36.10 |
38.83 |
38.07 |
38.83 |
| 2 |
32.38 |
31.60 |
35.27 |
34.49 |
36.96 |
36.17 |
36.96 |
| 3 |
30.74 |
34.38 |
34.65 |
38.30 |
35.43 |
39.07 |
39.07 |
| 4 |
35.68 |
33.77 |
40.16 |
38.25 |
40.88 |
38.98 |
40.88 |
Apartado 3
- Calcule la probabilidad de terminar en 37 semanas o menos y la duración que puede comprometerse con un 90% de probabilidad. Compare con la aproximación normal por el camino crítico y explique las diferencias.
| Duración media |
36.00 |
36.47 |
| Desviación típica |
2.52 |
2.30 |
| P(T ≤ 37) (%) |
65.44 |
58.76 |
| Duración para 90% |
39.23 |
39.42 |
La aproximación normal sólo mira la ruta crítica. En cada réplica, sin embargo, la duración del proyecto es el máximo de todas las rutas, y el máximo de varias variables aleatorias tiene una media mayor que cualquiera de ellas: las rutas casi críticas empujan la duración hacia arriba (sesgo de fusión). Por eso Monte Carlo da una duración media algo mayor y una probabilidad de cumplir el plazo algo menor: el método PERT clásico es optimista. La desviación típica simulada suele ser menor, porque cuando una ruta sale corta otra ocupa su lugar y la cola izquierda se recorta.
Apartado 4
- Calcule el índice de criticidad de cada ruta y de cada actividad. ¿Qué actividad no crítica convendría vigilar?
El índice de criticidad de una ruta es la fracción de réplicas en que es la más larga; el de una actividad, la fracción de réplicas en que pertenece a la ruta más larga.
La librería hace el mismo cálculo de forma vectorizada: la sensibilidad empírica media de monte_carlo es precisamente el índice de criticidad de cada actividad.
| τ |
36.47 |
2.3 |
32.67 |
36.5 |
40.23 |
28.28 |
45.59 |
| criticidad (%) según monte_carlo |
100.0 |
100.0 |
100.0 |
80.0 |
69.9 |
30.1 |
20.0 |
0.0 |
La actividad no crítica con mayor índice de criticidad es G (30.1 % de las réplicas en la ruta más larga, con holgura 1). El análisis determinista la da por holgada, pero un retraso pequeño la convierte en crítica: es la que conviene vigilar.
