Enunciado
Considere el proyecto cuyo cuadro de prelaciones, duraciones medias y desviaciones típicas (en semanas) se adjunta. Las actividades marcadas como expuestas se realizan al aire libre: su duración depende además de un factor meteorológico común \(F\) de media 1 y desviación típica 0.15 (si la temporada es mala, \(F > 1\) y todas ellas se alargan a la vez). La duración de una actividad expuesta es \(F \cdot X\), con \(X\) normal de la media y desviación del cuadro; las no expuestas son normales independientes.
- Calcule la duración del proyecto y el camino crítico con las duraciones medias.
- Simule 10000 réplicas suponiendo todas las duraciones independientes (ignorando \(F\)) y obtenga la media, la desviación típica y la probabilidad de terminar en 25 semanas o menos.
- Repita la simulación con el factor común: en cada réplica se sortea un único valor de \(F\) que multiplica a todas las actividades expuestas. Compare media, desviación típica, percentil 95 y P(T ≤ 25).
- ¿Por qué la correlación positiva aumenta la dispersión de la duración del proyecto aunque apenas cambie la media? ¿Qué ocurre con la criticidad de las rutas?
Resolución
Apartado 1
- Calcule la duración del proyecto y el camino crítico con las duraciones medias.
Cálculo de los tiempos tempranos y tardíos de los sucesos y de las holguras totales paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):
Duración media del proyecto: 23 semanas. Actividades expuestas al factor común: A, B, E, G.
Apartado 2
- Simule 10000 réplicas suponiendo todas las duraciones independientes (ignorando \(F\)) y obtenga la media, la desviación típica y la probabilidad de terminar en 25 semanas o menos.
| independientes |
23.038 |
1.399 |
25.329 |
91.88 |
Apartado 3
- Repita la simulación con el factor común: en cada réplica se sortea un único valor de \(F\) que multiplica a todas las actividades expuestas. Compare media, desviación típica, percentil 95 y P(T ≤ 25).
Se reutilizan las mismas duraciones normales \(X\) y se multiplica cada fila (réplica) de las actividades expuestas por un valor de \(F\) común a toda la fila. Así la única diferencia entre las dos simulaciones es la correlación introducida por \(F\).
| media |
23.038 |
23.011 |
| desviación típica |
1.399 |
2.375 |
| percentil 95 |
25.329 |
26.932 |
| P(T ≤ 25) (%) |
91.880 |
80.160 |
Apartado 4
- ¿Por qué la correlación positiva aumenta la dispersión de la duración del proyecto aunque apenas cambie la media? ¿Qué ocurre con la criticidad de las rutas?
| Route_1 |
A - D - G - H - I |
100.0 |
99.8 |
| Route_2 |
A - E - H - I |
0.0 |
0.0 |
| Route_3 |
B - D - G - H - I |
0.0 |
0.0 |
| Route_4 |
B - D - G - H - I |
0.0 |
0.0 |
| Route_5 |
B - E - H - I |
0.0 |
0.0 |
| Route_6 |
B - F - G - H - I |
0.0 |
0.0 |
| Route_7 |
C - D - G - H - I |
0.0 |
0.0 |
| Route_8 |
C - F - G - H - I |
0.0 |
0.2 |
La varianza de una suma de variables correlacionadas positivamente es mayor que la suma de sus varianzas (se añaden los términos \(2\,\mathrm{cov}\)): cuando \(F\) sale alto, todas las actividades expuestas se alargan a la vez y no se compensan unas con otras. La media casi no cambia (la de \(F\) es 1), pero las colas se ensanchan: el percentil 95 sube y la probabilidad de cumplir el plazo baja. Las rutas con más actividades expuestas ganan criticidad. Suponer independencia, como hace el PERT clásico, es optimista en presencia de causas comunes de retraso.
