MonteCarlo 06

9 actividades; convergencia de la media y del percentil 90 con N

Enunciado

Considere el proyecto cuyo cuadro de prelaciones, duraciones medias y desviaciones típicas (semanas, distribución normal) se adjunta. Se quiere saber cuántas réplicas de Monte Carlo hacen falta para estimar con precisión la duración del proyecto.

  1. Construya la matriz de rutas y simule el proyecto con N = 20, 200, 2 000 y 20 000 réplicas. Anote en cada caso la media, la desviación típica, el percentil 90 y la probabilidad de terminar en 34 semanas.
  1. Repita cada simulación 10 veces con semillas distintas y calcule la dispersión (desviación típica) de la media estimada entre repeticiones. ¿Cómo decrece con N?
  1. Compare esa dispersión con la fórmula del error típico de la media, σ/√N. ¿Cuántas réplicas hacen falta para que el error de la media sea menor de 0,1 semanas?
  1. ¿Necesita el percentil 90 más o menos réplicas que la media para la misma precisión? ¿Por qué?
Tabla 1: Cuadro de datos del enunciado
predecessor duration standard_deviation
activity
A --- 3 0.6
B --- 1 1.0
C --- 2 0.1
D A,B,C 8 0.3
E D 7 0.4
F E 4 0.6
G F 2 0.1
H F 4 0.4
I G,H 7 0.6

Resolución

Apartado 1

  1. Construya la matriz de rutas y simule el proyecto con N = 20, 200, 2 000 y 20 000 réplicas. Anote en cada caso la media, la desviación típica, el percentil 90 y la probabilidad de terminar en 34 semanas.

Cálculo de los tiempos tempranos y tardíos de los sucesos y de las holguras totales paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):

paso 0 de 34
Figura 1: Grafo PERT con las duraciones medias y el camino crítico
Tabla 2: Matriz de rutas
👆 Interactivo: haz clic en una fila de la matriz para resaltar en el grafo las actividades y los nodos de esa ruta (otro clic la deselecciona).
Tabla 3: Media y varianza de cada ruta (sumas de las de sus actividades)
actividades duración media = suma duración media varianza = suma varianza
Route_1 A - D - E - F - G - I A(3) + D(8) + E(7) + F(4) + G(2) + I(7) = 31 31.0 A(0.36) + D(0.09) + E(0.16) + F(0.36) + G(0.01... 1.34
Route_2 A - D - E - F - H - I A(3) + D(8) + E(7) + F(4) + H(4) + I(7) = 33 33.0 A(0.36) + D(0.09) + E(0.16) + F(0.36) + H(0.16... 1.49
Route_3 B - D - E - F - G - I B(1) + D(8) + E(7) + F(4) + G(2) + I(7) = 29 29.0 B(1.00) + D(0.09) + E(0.16) + F(0.36) + G(0.01... 1.98
Route_4 B - D - E - F - H - I B(1) + D(8) + E(7) + F(4) + H(4) + I(7) = 31 31.0 B(1.00) + D(0.09) + E(0.16) + F(0.36) + H(0.16... 2.13
Route_5 C - D - E - F - G - I C(2) + D(8) + E(7) + F(4) + G(2) + I(7) = 30 30.0 C(0.01) + D(0.09) + E(0.16) + F(0.36) + G(0.01... 0.99
Route_6 C - D - E - F - H - I C(2) + D(8) + E(7) + F(4) + H(4) + I(7) = 32 32.0 C(0.01) + D(0.09) + E(0.16) + F(0.36) + H(0.16... 1.14

Cada réplica es un vector de duraciones normales; la duración de cada ruta es R·t y la del proyecto, el máximo. Para cada tamaño N se repite el mismo cálculo con más columnas.

media desviación típica percentil 90 P(T ≤ 34)
20 32.948 0.850 33.926 0.950
200 32.944 1.217 34.458 0.800
2000 33.045 1.210 34.574 0.790
20000 33.035 1.208 34.585 0.788

Apartado 2

  1. Repita cada simulación 10 veces con semillas distintas y calcule la dispersión (desviación típica) de la media estimada entre repeticiones. ¿Cómo decrece con N?
dispersión de la media dispersión del percentil 90
20 0.3532 0.5521
200 0.1380 0.1885
2000 0.0249 0.0405
20000 0.0080 0.0153

Al multiplicar N por 10 la dispersión se divide aproximadamente por √10 ≈ 3,16.

Apartado 3

  1. Compare esa dispersión con la fórmula del error típico de la media, σ/√N. ¿Cuántas réplicas hacen falta para que el error de la media sea menor de 0,1 semanas?
dispersión de la media dispersión del percentil 90 σ/√N
20 0.3532 0.5521 0.2702
200 0.1380 0.1885 0.0854
2000 0.0249 0.0405 0.0270
20000 0.0080 0.0153 0.0085

Con σ_τ ≈ 1.21, para un error típico de 0,1 semanas hacen falta N ≥ (σ/0,1)² ≈ 146 réplicas.

Apartado 4

  1. ¿Necesita el percentil 90 más o menos réplicas que la media para la misma precisión? ¿Por qué?

El percentil 90 se estima con las réplicas de la cola, que son pocas (el 10 % de N), y su error es mayor que el de la media para el mismo N; la tabla de dispersiones lo muestra. Por eso las decisiones basadas en percentiles altos (plazos comprometidos al 90–95 %) necesitan más réplicas que las basadas en la media.