| predecessor | duration | |
|---|---|---|
| activity | ||
| A | --- | 8 |
| B | --- | 7 |
| C | A,B | 7 |
| D | C | 8 |
| E | B | 7 |
| F | D,E | 5 |
| G | D | 6 |
MonteCarlo 04
7 actividades, 5 rutas, 5 réplicas calculadas a mano
Enunciado
Considere el proyecto cuyo cuadro de prelaciones y duraciones medias (en días) se adjunta. Para entender el método de Monte Carlo se han generado a mano sólo 5 réplicas de las duraciones (cada columna es una réplica: la duración que cada actividad ha tenido en esa simulación).
El proyecto corresponde a la producción de un cortometraje; las actividades son las siguientes (las duraciones del cuadro están en días).
| Descripción | |
|---|---|
| A | Guion definitivo |
| B | Casting |
| C | Localizaciones y permisos |
| D | Diseño de vestuario y atrezo |
| E | Plan de rodaje |
| F | Ensayos con los actores |
| G | Rodaje de exteriores |
| r1 | r2 | r3 | r4 | r5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| activity | |||||
| A | 7 | 9 | 7 | 8 | 9 |
| B | 8 | 6 | 6 | 6 | 7 |
| C | 8 | 7 | 7 | 8 | 7 |
| D | 8 | 8 | 7 | 8 | 9 |
| E | 8 | 7 | 7 | 7 | 7 |
| F | 5 | 4 | 4 | 4 | 6 |
| G | 6 | 5 | 5 | 7 | 5 |
- Dibuje el grafo PERT, enumere las rutas y escriba la matriz de rutas R (una fila por ruta, una columna por actividad).
- Escriba la matriz de tiempos T con las réplicas como columnas y calcule a mano el producto R·T. ¿Qué es cada elemento del resultado?
- Obtenga la duración del proyecto en cada réplica como el máximo de cada columna (τ = ‖R·t‖∞ para cada columna t). Calcule la media y la desviación típica muestral de las cinco duraciones.
- Para cada réplica, ¿qué ruta ha sido la crítica? Calcule el índice de criticidad de cada ruta y de cada actividad con estas cinco réplicas. Compare con el camino crítico de las duraciones medias.
- ¿Qué cambia al pasar de 5 réplicas a 10 000? Compruébelo generando las réplicas con una distribución normal de media la duración media y desviación típica 1.
Resolución
Apartado 1
- Dibuje el grafo PERT, enumere las rutas y escriba la matriz de rutas R (una fila por ruta, una columna por actividad).
Cálculo de los tiempos tempranos y tardíos de los sucesos y de las holguras totales paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):
paso 0 de 25
👆 Interactivo: haz clic en una fila de la matriz para resaltar en el grafo las actividades y los nodos de esa ruta (otro clic la deselecciona).
Apartado 2
- Escriba la matriz de tiempos T con las réplicas como columnas y calcule a mano el producto R·T. ¿Qué es cada elemento del resultado?
| A | B | C | D | E | F | G | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Route_1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| Route_2 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| Route_3 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| Route_4 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| Route_5 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
×
| r1 | r2 | r3 | r4 | r5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| A | 7 | 9 | 7 | 8 | 9 |
| B | 8 | 6 | 6 | 6 | 7 |
| C | 8 | 7 | 7 | 8 | 7 |
| D | 8 | 8 | 7 | 8 | 9 |
| E | 8 | 7 | 7 | 7 | 7 |
| F | 5 | 4 | 4 | 4 | 6 |
| G | 6 | 5 | 5 | 7 | 5 |
=
| r1 | r2 | r3 | r4 | r5 |
|---|---|---|---|---|
| 28 | 28 | 25 | 28 | 31 |
| 29 | 29 | 26 | 31 | 30 |
| 29 | 25 | 24 | 26 | 29 |
| 30 | 26 | 25 | 29 | 28 |
| 21 | 17 | 17 | 17 | 20 |
👆 Interactivo: pasa el ratón (o toca) una fila de la matriz de rutas: se recuadran los valores que se suman y el resultado.
| r1 | r2 | r3 | r4 | r5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| Route_1 | 28 | 28 | 25 | 28 | 31 |
| Route_2 | 29 | 29 | 26 | 31 | 30 |
| Route_3 | 29 | 25 | 24 | 26 | 29 |
| Route_4 | 30 | 26 | 25 | 29 | 28 |
| Route_5 | 21 | 17 | 17 | 17 | 20 |
El elemento (r, j) de R·T es la duración de la ruta r en la réplica j: la suma de las duraciones, en esa réplica, de las actividades que forman la ruta. Una fila de R selecciona las actividades de la ruta; una columna de T es un escenario completo.
Apartado 3
- Obtenga la duración del proyecto en cada réplica como el máximo de cada columna (τ = ‖R·t‖∞ para cada columna t). Calcule la media y la desviación típica muestral de las cinco duraciones.
| r1 | r2 | r3 | r4 | r5 | |
|---|---|---|---|---|---|
| τ = máximo de la columna | 30 | 29 | 26 | 31 | 31 |
| ruta más larga | Route_4 | Route_2 | Route_2 | Route_2 | Route_1 |
Media = (30 + 29 + 26 + 31 + 31) / 5 = 29.40 días. Desviación típica muestral = √(Σ(τ − media)² / (n − 1)) = 2.07 días. Con las duraciones medias el proyecto duraría 29 días.
Apartado 4
- Para cada réplica, ¿qué ruta ha sido la crítica? Calcule el índice de criticidad de cada ruta y de cada actividad con estas cinco réplicas. Compare con el camino crítico de las duraciones medias.
| actividades | veces crítica | índice de criticidad | |
|---|---|---|---|
| Route_1 | A - C - D - F | 1 | 0.2 |
| Route_2 | A - C - D - G | 3 | 0.6 |
| Route_3 | B - C - D - F | 0 | 0.0 |
| Route_4 | B - C - D - G | 1 | 0.2 |
| Route_5 | B - E - F | 0 | 0.0 |
| A | B | C | D | E | F | G | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| veces en la ruta crítica | 4.0 | 1.0 | 5.0 | 5.0 | 0.0 | 1.0 | 4.0 |
| índice de criticidad | 0.8 | 0.2 | 1.0 | 1.0 | 0.0 | 0.2 | 0.8 |
Con las duraciones medias la ruta crítica es A - C - D - G; en las réplicas ha sido la más larga 3 de 5 veces. Con tan pocas réplicas los índices sólo pueden valer múltiplos de 0.2.
Apartado 5
- ¿Qué cambia al pasar de 5 réplicas a 10 000? Compruébelo generando las réplicas con una distribución normal de media la duración media y desviación típica 1.
| 5 réplicas | 10 000 réplicas | |
|---|---|---|
| media | 29.40 | 29.36 |
| desviación típica | 2.07 | 1.88 |
| A | B | C | D | E | F | G | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 5 réplicas | 0.800 | 0.200 | 1.0 | 1.0 | 0.0 | 0.200 | 0.800 |
| 10 000 réplicas | 0.768 | 0.232 | 1.0 | 1.0 | 0.0 | 0.234 | 0.766 |
La operación es exactamente la misma (R·T y máximo por columnas); sólo cambia el número de columnas. Con muchas réplicas la media y la desviación típica se estabilizan (su error estadístico decrece como 1/√N) y los índices de criticidad dejan de ser múltiplos gruesos.