Enunciado
Considere el proyecto cuyo cuadro de prelaciones y estimaciones optimista, más probable y pesimista (en semanas) se adjunta. Suponga que la duración de cada actividad sigue una distribución Beta-PERT de parámetros \((a, m, b)\).
- Dibuje el grafo PERT, construya la matriz de caminos y calcule la duración del proyecto con las duraciones medias.
- Genere 10000 réplicas de las duraciones de las actividades y, con la matriz de caminos, obtenga la duración del proyecto en cada una. Calcule su media, desviación típica y percentiles 5, 50 y 95.
- Calcule la probabilidad de terminar en 23 semanas o menos y la duración que puede comprometerse con un 90% de probabilidad. Compare con la aproximación normal por el camino crítico y explique las diferencias.
- Calcule el índice de criticidad de cada ruta y de cada actividad. ¿Qué actividad no crítica convendría vigilar?
Resolución
Con el método PERT la media de cada actividad es \((a + 4m + b)/6\) y su desviación típica se aproxima por \((b - a)/6\).
| activity |
|
|
|
|
|
|
|
| A |
--- |
5 |
8 |
11 |
8 |
1.000000 |
1.000000 |
| B |
--- |
3 |
4 |
5 |
4 |
0.333333 |
0.111111 |
| C |
--- |
5 |
6 |
7 |
6 |
0.333333 |
0.111111 |
| D |
B |
3 |
4 |
5 |
4 |
0.333333 |
0.111111 |
| E |
C |
1 |
3 |
5 |
3 |
0.666667 |
0.444444 |
| F |
D,E |
1 |
6 |
11 |
6 |
1.666667 |
2.777778 |
| G |
D |
3 |
6 |
9 |
6 |
1.000000 |
1.000000 |
| H |
D,E |
5 |
7 |
9 |
7 |
0.666667 |
0.444444 |
| I |
A,F,G,H |
4 |
6 |
8 |
6 |
0.666667 |
0.444444 |
Apartado 1
- Dibuje el grafo PERT, construya la matriz de caminos y calcule la duración del proyecto con las duraciones medias.
Cálculo de los tiempos tempranos y tardíos de los sucesos y de las holguras totales paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):
| Route_1 |
14 |
1.444444 |
| Route_2 |
20 |
3.444444 |
| Route_3 |
20 |
1.666667 |
| Route_4 |
21 |
1.111111 |
| Route_5 |
21 |
3.777778 |
| Route_6 |
22 |
1.444444 |
Con las duraciones medias el proyecto dura 22 semanas; la ruta crítica es Route_6 y su desviación típica 1.202.
Apartado 2
- Genere 10000 réplicas de las duraciones de las actividades y, con la matriz de caminos, obtenga la duración del proyecto en cada una. Calcule su media, desviación típica y percentiles 5, 50 y 95.
La Beta-PERT de parámetros \((a, m, b)\) es \(X = a + (b - a)\,Y\) con \(Y \sim \mathrm{Beta}(\alpha, \beta)\), \(\alpha = 1 + 4\frac{m-a}{b-a}\) y \(\beta = 1 + 4\frac{b-m}{b-a}\); su media es exactamente \((a+4m+b)/6\).
Las medias muestrales coinciden con las teóricas. Las desviaciones típicas salen algo mayores que \((b-a)/6\): esa fórmula es una aproximación; la desviación exacta de la Beta-PERT simétrica es \((b-a)/\sqrt{28} \approx (b-a)/5.3\).
La duración de cada ruta en cada réplica es el producto de las duraciones por la traspuesta de la matriz de caminos; la del proyecto, el máximo por filas.
| 0 |
16.17 |
18.96 |
18.70 |
20.68 |
21.32 |
23.03 |
23.03 |
| 1 |
12.10 |
19.41 |
19.33 |
22.03 |
18.54 |
21.16 |
22.03 |
| 2 |
12.98 |
20.13 |
19.59 |
20.86 |
20.74 |
21.46 |
21.46 |
| 3 |
14.06 |
15.05 |
20.12 |
20.58 |
16.88 |
22.42 |
22.42 |
| 4 |
14.23 |
23.82 |
22.05 |
22.55 |
23.87 |
22.61 |
23.87 |
Apartado 3
- Calcule la probabilidad de terminar en 23 semanas o menos y la duración que puede comprometerse con un 90% de probabilidad. Compare con la aproximación normal por el camino crítico y explique las diferencias.
| Duración media |
22.00 |
22.54 |
| Desviación típica |
1.20 |
1.38 |
| P(T ≤ 23) (%) |
79.73 |
64.10 |
| Duración para 90% |
23.54 |
24.33 |
La aproximación normal sólo mira la ruta crítica. En cada réplica, sin embargo, la duración del proyecto es el máximo de todas las rutas, y el máximo de varias variables aleatorias tiene una media mayor que cualquiera de ellas: las rutas casi críticas empujan la duración hacia arriba (sesgo de fusión). Por eso Monte Carlo da una duración media algo mayor y una probabilidad de cumplir el plazo algo menor: el método PERT clásico es optimista. La desviación típica simulada suele ser menor, porque cuando una ruta sale corta otra ocupa su lugar y la cola izquierda se recorta.
Apartado 4
- Calcule el índice de criticidad de cada ruta y de cada actividad. ¿Qué actividad no crítica convendría vigilar?
El índice de criticidad de una ruta es la fracción de réplicas en que es la más larga; el de una actividad, la fracción de réplicas en que pertenece a la ruta más larga.
La librería hace el mismo cálculo de forma vectorizada: la sensibilidad empírica media de monte_carlo es precisamente el índice de criticidad de cada actividad.
La opción ('pert', a, m, b) de monte_carlo es una normal recortada al intervalo \([a, b]\), no la Beta-PERT exacta; por eso se le pasa como función la misma Beta-PERT usada arriba (la función recibe size y devuelve un vector de muestras).
| τ |
22.55 |
1.39 |
20.32 |
22.52 |
24.89 |
18.02 |
27.9 |
| criticidad (%) según monte_carlo |
100.0 |
79.5 |
79.5 |
61.1 |
31.7 |
20.5 |
20.5 |
7.2 |
0.0 |
La actividad no crítica con mayor índice de criticidad es F (31.7 % de las réplicas en la ruta más larga, con holgura 1). El análisis determinista la da por holgada, pero un retraso pequeño la convierte en crítica: es la que conviene vigilar.
