MonteCarlo 02

9 actividades, 6 rutas, distribución triangular

Enunciado

Considere el proyecto cuyo cuadro de prelaciones y estimaciones optimista, más probable y pesimista (en semanas) se adjunta. Suponga que la duración de cada actividad sigue una distribución triangular de parámetros \((a, m, b)\).

  1. Dibuje el grafo PERT, construya la matriz de caminos y calcule la duración del proyecto con las duraciones medias.
  1. Genere 10000 réplicas de las duraciones de las actividades y, con la matriz de caminos, obtenga la duración del proyecto en cada una. Calcule su media, desviación típica y percentiles 5, 50 y 95.
  1. Calcule la probabilidad de terminar en 33 semanas o menos y la duración que puede comprometerse con un 90% de probabilidad. Compare con la aproximación normal por el camino crítico y explique las diferencias.
  1. Calcule el índice de criticidad de cada ruta y de cada actividad. ¿Qué actividad no crítica convendría vigilar?
Tabla 1: Cuadro de datos del enunciado
predecessor a m b
activity
A --- 1 4 7
B --- 5 6 7
C --- 3 6 6
D A,B,C 3 6 6
E D 6 6 9
F E 3 3 6
G F 1 3 5
H E 7 8 9
I H 4 5 9

El proyecto corresponde a la organización de un congreso científico; las actividades son las siguientes (las duraciones del cuadro están en semanas).

Tabla 2: Descripción de las actividades
Descripción
A Definición del programa y fechas
B Reserva de la sede
C Convocatoria de comunicaciones
D Página web e inscripciones
E Contratación de ponentes invitados
F Revisión de los trabajos recibidos
G Elaboración del programa definitivo
H Contratación de catering y viajes
I Edición del libro de actas

Resolución

Para la distribución triangular la media es \((a + m + b)/3\) y la varianza \((a^2 + m^2 + b^2 - ab - am - bm)/18\).

predecessor a m b duration variance standard_deviation
activity
A --- 1 4 7 4 1.500000 1.224745
B --- 5 6 7 6 0.166667 0.408248
C --- 3 6 6 5 0.500000 0.707107
D A,B,C 3 6 6 5 0.500000 0.707107
E D 6 6 9 7 0.500000 0.707107
F E 3 3 6 4 0.500000 0.707107
G F 1 3 5 3 0.666667 0.816497
H E 7 8 9 8 0.166667 0.408248
I H 4 5 9 6 1.166667 1.080123

Apartado 1

  1. Dibuje el grafo PERT, construya la matriz de caminos y calcule la duración del proyecto con las duraciones medias.

Cálculo de los tiempos tempranos y tardíos de los sucesos y de las holguras totales paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):

paso 0 de 31
Figura 1: Grafo PERT con las duraciones medias
Tabla 3: Matriz de caminos
👆 Interactivo: haz clic en una fila de la matriz para resaltar en el grafo las actividades y los nodos de esa ruta (otro clic la deselecciona).
duración media varianza
Route_1 23 3.666667
Route_2 30 3.833333
Route_3 25 2.333333
Route_4 32 2.500000
Route_5 24 2.666667
Route_6 31 2.833333

Con las duraciones medias el proyecto dura 32 semanas; la ruta crítica es Route_4 y su desviación típica 1.581.

Apartado 2

  1. Genere 10000 réplicas de las duraciones de las actividades y, con la matriz de caminos, obtenga la duración del proyecto en cada una. Calcule su media, desviación típica y percentiles 5, 50 y 95.

Cada réplica es un vector de duraciones generado con la distribución triangular de mínimo \(a\), moda \(m\) y máximo \(b\) (cuando \(a = m = b\) la duración es fija).

Tabla 4: Medias y desviaciones típicas muestrales frente a las teóricas
A B C D E F G H I
media teórica 4.00 6.00 5.00 5.00 7.00 4.00 3.00 8.00 6.00
media muestral 4.01 6.00 5.00 4.99 6.99 4.00 3.01 8.00 5.99
σ teórica 1.22 0.41 0.71 0.71 0.71 0.71 0.82 0.41 1.08
σ muestral 1.22 0.41 0.71 0.71 0.71 0.71 0.82 0.41 1.08

La duración de cada ruta en cada réplica es el producto de las duraciones por la traspuesta de la matriz de caminos; la del proyecto, el máximo por filas.

Route_1 Route_2 Route_3 Route_4 Route_5 Route_6 Proyecto
0 23.54 32.81 25.38 34.66 24.65 33.93 34.66
1 23.43 28.50 25.86 30.93 25.47 30.54 30.93
2 25.97 30.13 26.91 31.06 26.33 30.48 31.06
3 19.80 25.35 24.34 29.89 23.42 28.98 29.89
4 20.70 31.50 23.48 34.28 22.45 33.25 34.28
Tabla 5: Descriptores de la duración simulada del proyecto
count mean std min 5% 50% 95% max
Duración del proyecto 10000.0 32.02 1.58 27.34 29.49 31.96 34.72 37.41
Figura 2: Distribución simulada de la duración frente a la aproximación normal

Apartado 3

  1. Calcule la probabilidad de terminar en 33 semanas o menos y la duración que puede comprometerse con un 90% de probabilidad. Compare con la aproximación normal por el camino crítico y explique las diferencias.
Aproximación normal Monte Carlo
Duración media 32.00 32.02
Desviación típica 1.58 1.58
P(T ≤ 33) (%) 73.65 73.33
Duración para 90% 34.03 34.11

La aproximación normal sólo mira la ruta crítica. En cada réplica, sin embargo, la duración del proyecto es el máximo de todas las rutas, y el máximo de varias variables aleatorias tiene una media mayor que cualquiera de ellas: las rutas casi críticas empujan la duración hacia arriba (sesgo de fusión). Por eso Monte Carlo da una duración media algo mayor y una probabilidad de cumplir el plazo algo menor: el método PERT clásico es optimista. La desviación típica simulada suele ser menor, porque cuando una ruta sale corta otra ocupa su lugar y la cola izquierda se recorta.

Apartado 4

  1. Calcule el índice de criticidad de cada ruta y de cada actividad. ¿Qué actividad no crítica convendría vigilar?

El índice de criticidad de una ruta es la fracción de réplicas en que es la más larga; el de una actividad, la fracción de réplicas en que pertenece a la ruta más larga.

Tabla 6: Índice de criticidad de las rutas
actividades duración media criticidad (%)
Route_4 B - D - E - H - I 32 84.4
Route_6 C - D - E - H - I 31 9.3
Route_2 A - D - E - H - I 30 6.3
Route_1 A - D - E - F - G 23 0.0
Route_3 B - D - E - F - G 25 0.0
Route_5 C - D - E - F - G 24 0.0
Tabla 7: Índice de criticidad de las actividades frente a su holgura total
A B C D E F G H I
holgura total 2.0 0.0 1.0 0.0 0.0 7.0 7.0 0.0 0.0
criticidad (%) 6.3 84.4 9.3 100.0 100.0 0.0 0.0 100.0 100.0

La librería hace el mismo cálculo de forma vectorizada: la sensibilidad empírica media de monte_carlo es precisamente el índice de criticidad de cada actividad.

mean std q05 q50 q95 min max
τ 32.02 1.58 29.49 31.96 34.72 27.34 37.41
E H D I B C A G F
criticidad (%) según monte_carlo 100.0 100.0 100.0 100.0 84.4 9.3 6.3 0.0 0.0

La actividad no crítica con mayor índice de criticidad es C (9.3 % de las réplicas en la ruta más larga, con holgura 1). El análisis determinista la da por holgada, pero un retraso pequeño la convierte en crítica: es la que conviene vigilar.