Probabilidad 14

9 actividades; resolución con σ sumadas y con la ruta equivocada

Enunciado

Para el proyecto cuyo cuadro se adjunta, un alumno ha entregado la siguiente resolución de la pregunta «¿qué probabilidad hay de terminar en 32 semanas o menos?»:

La ruta crítica es B - C - D - E - G - H - I, con duración media 30. La desviación típica del proyecto es la suma de las desviaciones típicas de sus actividades: σ = 0.8 + 0.1 + 0.6 + 0.2 + 0.3 + 0.8 + 1.0 = 3.8. Por tanto z = (32 − 30) / 3.8 = 0.53 y P = 0.701.

Otro alumno ha usado la ruta A - C - D - E - G - H - I para calcular la desviación típica, obteniendo σ = 1.47.

  1. Compruebe la duración media y la ruta crítica.
  1. Localice el error del primer alumno y corrija el cálculo. ¿Sobrestima o subestima la probabilidad su error?
  1. ¿Qué error ha cometido el segundo alumno? ¿En qué caso su desviación típica sería la correcta?
  1. Dé la probabilidad correcta de terminar en 32 semanas o menos.
Tabla 1: Cuadro de datos del enunciado
predecessor duration standard_deviation
activity
A --- 1 0.1
B --- 2 0.8
C A,B 5 0.1
D C 4 0.6
E D 7 0.2
F E 6 0.3
G E 8 0.3
H F,G 2 0.8
I H 2 1.0

Resolución

Apartado 1

  1. Compruebe la duración media y la ruta crítica.

Cálculo de los tiempos mínimos y máximos de los nodos del grafo Roy paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):

paso 0 de 24
Figura 1: Grafo Roy con tiempos y camino crítico
  • Route_4 : B, C, D, E, G, H, I

Apartado 2

  1. Localice el error del primer alumno y corrija el cálculo. ¿Sobrestima o subestima la probabilidad su error?

Las varianzas de variables independientes se suman; las desviaciones típicas no. \(\sigma_T = \sqrt{\sum \sigma_i^2}\), que es siempre menor que \(\sum \sigma_i\). Al usar una σ demasiado grande el alumno obtiene un z demasiado pequeño y, para un plazo mayor que la media, una probabilidad demasiado baja (subestima).

σ del proyecto
suma de σ (incorrecto) 3.800
raíz de la suma de varianzas (correcto) 1.667
Tabla 2: Media y varianza de cada ruta (sumas de las de sus actividades)
actividades media = suma media varianza = suma varianza
Route_1 A - C - D - E - F - H - I A(1) + C(5) + D(4) + E(7) + F(6) + H(2) + I(2)... 27.0 A(0.010) + C(0.010) + D(0.360) + E(0.040) + F(... 2.15
Route_2 A - C - D - E - G - H - I A(1) + C(5) + D(4) + E(7) + G(8) + H(2) + I(2)... 29.0 A(0.010) + C(0.010) + D(0.360) + E(0.040) + G(... 2.15
Route_3 B - C - D - E - F - H - I B(2) + C(5) + D(4) + E(7) + F(6) + H(2) + I(2)... 28.0 B(0.640) + C(0.010) + D(0.360) + E(0.040) + F(... 2.78
Route_4 B - C - D - E - G - H - I B(2) + C(5) + D(4) + E(7) + G(8) + H(2) + I(2)... 30.0 B(0.640) + C(0.010) + D(0.360) + E(0.040) + G(... 2.78

Apartado 3

  1. ¿Qué error ha cometido el segundo alumno? ¿En qué caso su desviación típica sería la correcta?

El segundo alumno ha sumado varianzas, que es lo correcto, pero de una ruta que no es la crítica. La varianza del proyecto se toma de la ruta crítica; sólo si esa otra ruta también fuera crítica (misma duración media) habría que considerarla, y entonces se tomaría la de mayor varianza.

Apartado 4

  1. Dé la probabilidad correcta de terminar en 32 semanas o menos.

z = (32 − 30) / 1.667 = 1.200; P(T ≤ 32) = 0.885, frente al 0.701 del primer alumno.