Probabilidad 09

9 actividades, 1 ruta(s) crítica(s), σ = 0.57

Enunciado

Considere el proyecto cuyo cuadro de prelaciones, duraciones medias y desviaciones típicas (en semanas) se adjunta.

  1. Determine la duración media del proyecto y su(s) camino(s) crítico(s).
  1. Calcule la varianza y la desviación típica de la duración del proyecto.
  1. ¿Qué probabilidad hay de terminar el proyecto en 36 semanas o menos?
  1. ¿Qué probabilidad hay de terminar entre las semanas 33 y 36?
  1. ¿Qué duración puede comprometerse con el cliente con una probabilidad del 90% de cumplirla?
  1. ¿Qué probabilidad hay de terminar en la duración media o antes? ¿Puede garantizarse esa duración con un 90% de probabilidad sin modificar el proyecto?
Tabla 1: Cuadro de datos del enunciado
predecessor duration standard_deviation
activity
A --- 8 0.2
B --- 5 0.1
C --- 7 0.5
D A,C 6 0.2
E D 8 0.2
F B,E 5 0.1
G F 1 0.2
H G 6 0.4
I F 1 0.8

El proyecto corresponde a la organización de un congreso científico; las actividades son las siguientes (las duraciones del cuadro están en semanas).

Tabla 2: Descripción de las actividades
Descripción
A Definición del programa y fechas
B Reserva de la sede
C Convocatoria de comunicaciones
D Página web e inscripciones
E Contratación de ponentes invitados
F Revisión de los trabajos recibidos
G Elaboración del programa definitivo
H Contratación de catering y viajes
I Edición del libro de actas

Resolución

Apartado 1

  1. Determine la duración media del proyecto y su(s) camino(s) crítico(s).

Cálculo de los tiempos mínimos y máximos de los nodos del grafo Roy paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):

paso 0 de 24
Figura 1: Grafo Roy con tiempos y camino crítico
Tabla 3: Holgura total de las actividades
@2→3 A B C D E F G H I
H_total 0 0 17 1 0 0 0 0 0 6 
Route_1: A - D - E - F - G - H

La duración media del proyecto es 34 semanas y tiene 1 ruta(s) crítica(s).

Apartado 2

  1. Calcule la varianza y la desviación típica de la duración del proyecto.

Por el teorema central del límite, la duración de una ruta es aproximadamente normal con media la suma de las medias y varianza la suma de las varianzas de sus actividades. Para el proyecto se toma la ruta crítica; si hay varias, la de mayor varianza, que es la hipótesis más prudente (la verdadera distribución del máximo de varias rutas no es normal, y el método PERT la aproxima así).

Tabla 4: Varianza de las rutas críticas
  Activities Variance Formula
Route_1 A, D, E, F, G, H 0.33 σ²(A) + σ²(D) + σ²(E) + σ²(F) + σ²(G) + σ²(H) = 0.04 + 0.04 + 0.04 + 0.01 + 0.04 + 0.16 = 0.33

Sumando actividad a actividad a lo largo de cada ruta (la media de una ruta es la suma de las medias; su varianza, la suma de las varianzas):

Tabla 5: Media y varianza de cada ruta, sumando sus actividades
actividades media = suma media varianza = suma varianza
Route_1 A - D - E - F - G - H A(8) + D(6) + E(8) + F(5) + G(1) + H(6) = 34 34.0 A(0.040) + D(0.040) + E(0.040) + F(0.010) + G(... 0.33
Route_2 A - D - E - F - I A(8) + D(6) + E(8) + F(5) + I(1) = 28 28.0 A(0.040) + D(0.040) + E(0.040) + F(0.010) + I(... 0.77
Route_3 B - F - G - H B(5) + F(5) + G(1) + H(6) = 17 17.0 B(0.010) + F(0.010) + G(0.040) + H(0.160) = 0.220 0.22
Route_4 B - F - I B(5) + F(5) + I(1) = 11 11.0 B(0.010) + F(0.010) + I(0.640) = 0.660 0.66
Route_5 C - D - E - F - G - H C(7) + D(6) + E(8) + F(5) + G(1) + H(6) = 33 33.0 C(0.250) + D(0.040) + E(0.040) + F(0.010) + G(... 0.54
Route_6 C - D - E - F - I C(7) + D(6) + E(8) + F(5) + I(1) = 27 27.0 C(0.250) + D(0.040) + E(0.040) + F(0.010) + I(... 0.98

La varianza del proyecto es 0.330 y su desviación típica 0.574 semanas.

Apartado 3

  1. ¿Qué probabilidad hay de terminar el proyecto en 36 semanas o menos?

Con \(T \sim N(\mu, \sigma)\): \(P(T \le t) = \Phi\left(\frac{t - \mu}{\sigma}\right)\).

z = (36 − 34) / 0.574 = 3.482, luego P(T ≤ 36) = Φ(3.482) = 0.9998 (100.0 %).

Apartado 4

  1. ¿Qué probabilidad hay de terminar entre las semanas 33 y 36?

P(33 < T ≤ 36) = Φ(3.482) − Φ(-1.741) = 0.9998 − 0.0409 = 0.9589 (95.9 %).

Apartado 5

  1. ¿Qué duración puede comprometerse con el cliente con una probabilidad del 90% de cumplirla?

Se busca \(t\) tal que \(P(T \le t) = p\), es decir, \(t = \mu + z_p\,\sigma\) con \(z_p = \Phi^{-1}(p)\).

z = 1.282; t = 34 + 1.282 × 0.574 = 34.74 semanas. Como el calendario se mide en semanas enteras, se comprometerían 35 semanas.

Apartado 6

  1. ¿Qué probabilidad hay de terminar en la duración media o antes? ¿Puede garantizarse esa duración con un 90% de probabilidad sin modificar el proyecto?

La duración media es la mediana de la normal, así que P(T ≤ 34) = 0.5: sólo la mitad de las veces se terminaría en la duración media o antes. Para garantizarla con un 90% haría falta que la media del proyecto fuera 34 − 1.282 × 0.574 = 33.26 semanas, es decir, reducir el proyecto (acortando actividades críticas) o reducir su varianza. Sin tocar el proyecto no es posible.