Probabilidad 08

dos cadenas paralelas de 2 y 2 actividades; P(ruta no crítica resulta la más larga)

Enunciado

Considere el proyecto cuyo cuadro de prelaciones, duraciones medias y desviaciones típicas (en semanas) se adjunta. Las actividades A y H tienen duración fija; las demás son independientes y aproximadamente normales.

  1. Dibuje el grafo y enumere las rutas con su duración media y su varianza. ¿Cuál es la ruta crítica en media?
  1. Las dos rutas comparten A y H. Calcule la media y la varianza de la diferencia entre la duración de la ruta que pasa por B y la que pasa por E. ¿Qué probabilidad hay de que la segunda resulte más larga (es decir, de que sea ella la crítica)?
  1. Calcule la probabilidad de terminar el proyecto en 13 semanas o menos (a) con el método PERT (sólo la ruta crítica) y (b) de forma exacta, usando que las dos cadenas son independientes: el proyecto termina a tiempo si las dos cadenas terminan a tiempo.
  1. ¿Cuál de las dos probabilidades es mayor? ¿Es general ese sentido del error del método PERT?
Tabla 1: Cuadro de datos del enunciado
predecessor duration standard_deviation
activity
A --- 2 0.0
B A 3 0.5
C B 5 1.0
E A 3 1.0
F E 4 1.5
H C,F 2 0.0

Resolución

Apartado 1

  1. Dibuje el grafo y enumere las rutas con su duración media y su varianza. ¿Cuál es la ruta crítica en media?

Cálculo de los tiempos tempranos y tardíos de los sucesos y de las holguras totales paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):

paso 0 de 20
Figura 1: Grafo PERT
Tabla 2: Media y varianza de cada ruta
actividades media = suma media varianza = suma varianza
Route_1 A - B - C - H A(2) + B(3) + C(5) + H(2) = 12 12.0 A(0.000) + B(0.250) + C(1.000) + H(0.000) = 1.250 1.25
Route_2 A - E - F - H A(2) + E(3) + F(4) + H(2) = 11 11.0 A(0.000) + E(1.000) + F(2.250) + H(0.000) = 3.250 3.25

En media la ruta crítica es Route_1 (12 semanas frente a 11).

Apartado 2

  1. Las dos rutas comparten A y H. Calcule la media y la varianza de la diferencia entre la duración de la ruta que pasa por B y la que pasa por E. ¿Qué probabilidad hay de que la segunda resulte más larga (es decir, de que sea ella la crítica)?

A y H están en las dos rutas y son fijas: en la diferencia \(L_2 - L_1\) se cancelan. La diferencia de dos normales independientes es normal con media la diferencia de medias y varianza la suma de varianzas.

L₂ − L₁ ~ N(11 − 12 = -1, 1.250 + 3.250 = 4.500), σ = 2.121. P(L₂ > L₁) = P(Z > (0 − (-1)) / 2.121) = 1 − Φ(0.471) = 0.3187: la ruta «no crítica» resulta ser la más larga el 31.9 % de las veces.

Apartado 3

  1. Calcule la probabilidad de terminar el proyecto en 13 semanas o menos (a) con el método PERT (sólo la ruta crítica) y (b) de forma exacta, usando que las dos cadenas son independientes: el proyecto termina a tiempo si las dos cadenas terminan a tiempo.

  1. PERT: z = (13 − 12) / 1.118 = 0.894, P = 0.8145.

  2. Exacta: cada cadena intermedia debe durar como mucho 13 − 2 − 2 = 9; P(cadena 1 ≤ 9) = 0.8145, P(cadena 2 ≤ 9) = 0.8664, y por independencia P(T ≤ 13) = 0.8145 × 0.8664 = 0.7056.

Apartado 4

  1. ¿Cuál de las dos probabilidades es mayor? ¿Es general ese sentido del error del método PERT?

PERT da 0.8145 y el cálculo exacto 0.7056: PERT es optimista. Es general: el máximo de varias rutas es siempre mayor o igual que la ruta crítica sola, luego P(máx ≤ t) ≤ P(ruta crítica ≤ t). El error es grande cuando hay rutas casi críticas con varianza apreciable, como aquí.