Probabilidad 07

9 actividades; hito al final de C (fecha media 11, comprometida 12)

Enunciado

Considere el proyecto cuyo cuadro de prelaciones, duraciones medias y desviaciones típicas (en semanas) se adjunta. El fin de la actividad C es un hito del proyecto (una entrega parcial) comprometido para la semana 12.

1. Enumere todas las cadenas de actividades que van desde una actividad inicial hasta C (incluida) y calcule la media y la varianza de la duración de cada una.
   

2. ¿Cuál es la fecha media del hito? ¿Qué cadena determina su varianza? Calcule la probabilidad de alcanzar el hito en la semana 12 o antes.
   

3. Calcule la probabilidad de terminar todo el proyecto en la semana 29 o antes. ¿Por qué son cuestiones distintas, aunque se resuelvan igual?
   

4. ¿Es C crítica? ¿Cambiaría la probabilidad del hito si se retrasara una actividad que no esté en ninguna cadena que llegue a C?
   

Tabla 1: Cuadro de datos del enunciado

	predecessor	duration	standard_deviation
activity
A	---	2	1.0
B	---	6	0.6
C	A,B	5	0.4
D	C	4	0.8
E	D	5	0.6
F	E	6	1.0
G	D	1	0.1
H	E	6	0.4
I	G,H	2	0.6

El proyecto corresponde a la organización de un congreso científico; las actividades son las siguientes (las duraciones del cuadro están en semanas).

Tabla 2: Descripción de las actividades

	Descripción
A	Definición del programa y fechas
B	Reserva de la sede
C	Convocatoria de comunicaciones
D	Página web e inscripciones
E	Contratación de ponentes invitados
F	Revisión de los trabajos recibidos
G	Elaboración del programa definitivo
H	Contratación de catering y viajes
I	Edición del libro de actas

Resolución

Apartado 1

1. Enumere todas las cadenas de actividades que van desde una actividad inicial hasta C (incluida) y calcule la media y la varianza de la duración de cada una.
   

Las cadenas que llegan al hito son los caminos del grafo de actividades (Roy) desde las iniciales hasta \(X\). Cada una tiene media la suma de las medias y varianza la suma de las varianzas de sus actividades.

Cálculo de los tiempos mínimos y máximos de los nodos del grafo Roy paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):

paso 0 de 24

Figura 1: Grafo Roy con el hito marcado

Tabla 3: Cadenas hasta el hito

	actividades	media = suma	media	varianza = suma	varianza
cadena_1	A - C	A(2) + C(5) = 7	7.0	A(1.000) + C(0.160) = 1.160	1.16
cadena_2	B - C	B(6) + C(5) = 11	11.0	B(0.360) + C(0.160) = 0.520	0.52

Apartado 2

2. ¿Cuál es la fecha media del hito? ¿Qué cadena determina su varianza? Calcule la probabilidad de alcanzar el hito en la semana 12 o antes.
   

La fecha media del hito es la de la cadena más larga: 11 (coincide con el fin más temprano de C en el calendario). Su varianza es la de esa cadena (cadena_2; si hay empate, la de mayor varianza): 0.520, σ = 0.721. Entonces z = (12 − 11) / 0.721 = 1.387 y P(hito ≤ 12) = Φ(1.387) = 0.9172 (91.7 %).

Comprobación: el fin más temprano de C en el calendario es 11.

Apartado 3

3. Calcule la probabilidad de terminar todo el proyecto en la semana 29 o antes. ¿Por qué son cuestiones distintas, aunque se resuelvan igual?
   

Para el proyecto completo: media 28, σ = 1.428; z = (29 − 28) / 1.428 = 0.700, P(T ≤ 29) = 0.7581. Es la misma técnica aplicada a otro suceso: el hito depende sólo de las cadenas que llegan a C; el fin del proyecto, de todas las rutas completas. Una probabilidad alta del hito no garantiza una probabilidad alta del plazo, ni al revés.

Apartado 4

4. ¿Es C crítica? ¿Cambiaría la probabilidad del hito si se retrasara una actividad que no esté en ninguna cadena que llegue a C?
   

C es crítica (holgura total 0). La probabilidad del hito sólo depende de las actividades de sus cadenas (A, B, C); un retraso en D, E, F, G, H, I no la altera, aunque sí pueda alterar la del proyecto.