Probabilidad 05

10 actividades; σ máxima admisible de I para P ≥ 90 % en 37 semanas

Enunciado

Considere el proyecto cuyo cuadro de prelaciones, duraciones medias y desviaciones típicas (en semanas) se adjunta. La actividad I se va a subcontratar y la desviación típica de su duración depende del contratista elegido. El cliente exige terminar en 37 semanas con una probabilidad de al menos el 90 %.

  1. Determine la duración media del proyecto y la ruta crítica. ¿Está en ella la actividad subcontratada?
  1. Calcule la varianza del proyecto en función de la desviación típica σ de I.
  1. ¿Qué desviación típica máxima puede tener I para cumplir la exigencia del cliente?
  1. Si ningún contratista garantiza esa dispersión, ¿cuántas semanas habría que reducir la duración media del proyecto (manteniendo las varianzas) para cumplir con el contratista de σ = 1,5?
Tabla 1: Cuadro de datos del enunciado (σ de I por determinar)
predecessor duration standard_deviation
activity
A --- 1 0.4
B --- 7 0.2
C A,B 7 0.1
D C 4 0.5
E D 4 0.6
F D 4 0.2
G F 4 0.8
H E 7 1.0
I H 1 NaN
J I 5 0.3

Resolución

Apartado 1

  1. Determine la duración media del proyecto y la ruta crítica. ¿Está en ella la actividad subcontratada?

Cálculo de los tiempos tempranos y tardíos de los sucesos y de las holguras totales paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):

paso 0 de 33
Figura 1: Grafo PERT con tiempos y camino crítico

Duración media 35 semanas; ruta crítica B - C - D - E - H - I - J. I sí está en ella.

Tabla 2: Media de cada ruta y varianza de las actividades de desviación conocida
actividades media = suma media varianza sin I = suma varianza sin I
Route_1 A - C - D - E - H - I - J A(1) + C(7) + D(4) + E(4) + H(7) + I(1) + J(5)... 29.0 A(0.160) + C(0.010) + D(0.250) + E(0.360) + H(... 1.87
Route_2 A - C - D - F - G A(1) + C(7) + D(4) + F(4) + G(4) = 20 20.0 A(0.160) + C(0.010) + D(0.250) + F(0.040) + G(... 1.1
Route_3 B - C - D - E - H - I - J B(7) + C(7) + D(4) + E(4) + H(7) + I(1) + J(5)... 35.0 B(0.040) + C(0.010) + D(0.250) + E(0.360) + H(... 1.75
Route_4 B - C - D - F - G B(7) + C(7) + D(4) + F(4) + G(4) = 26 26.0 B(0.040) + C(0.010) + D(0.250) + F(0.040) + G(... 0.98

Apartado 2

  1. Calcule la varianza del proyecto en función de la desviación típica σ de I.

Varianza del proyecto = varianza del resto de la ruta crítica + σ² = 1.750 + σ².

Apartado 3

  1. ¿Qué desviación típica máxima puede tener I para cumplir la exigencia del cliente?

Se necesita \(P(T \le plazo) \ge p\), es decir, \(\dfrac{plazo - \mu}{\sigma_T} \ge z_p\), luego \(\sigma_T \le \dfrac{plazo - \mu}{z_p}\) y \(\sigma_X^2 \le \sigma_T^2 - \sigma_{resto}^2\).

σ_T ≤ (37 − 35) / 1.282 = 1.561; σ_X² ≤ 1.561² − 1.750 = 0.685, luego σ_X ≤ 0.83 semanas.

Apartado 4

  1. Si ningún contratista garantiza esa dispersión, ¿cuántas semanas habría que reducir la duración media del proyecto (manteniendo las varianzas) para cumplir con el contratista de σ = 1,5?

Con σ_X = 1,5, σ_T = 2.000 y hace falta μ ≤ 37 − 1.282 × 2.000 = 34.44: reducir la duración media en 1 semana(s) (suponiendo que la ruta crítica no cambia al acortar).