Probabilidad 02

9 actividades, 2 ruta(s) crítica(s), σ = 1.25

Enunciado

Considere el proyecto cuyo cuadro de prelaciones, duraciones medias y desviaciones típicas (en semanas) se adjunta.

  1. Determine la duración media del proyecto y su(s) camino(s) crítico(s).
  1. Calcule la varianza y la desviación típica de la duración del proyecto. ¿Qué ruta crítica debe usarse para ello? Razone la respuesta.
  1. ¿Qué probabilidad hay de terminar el proyecto en 29 semanas o menos?
  1. ¿Qué probabilidad hay de terminar entre las semanas 26 y 29?
  1. ¿Qué duración puede comprometerse con el cliente con una probabilidad del 95% de cumplirla?
  1. ¿Qué probabilidad hay de terminar en la duración media o antes? ¿Puede garantizarse esa duración con un 95% de probabilidad sin modificar el proyecto?
Tabla 1: Cuadro de datos del enunciado
predecessor duration standard_deviation
activity
A --- 4 0.6
B --- 4 0.3
C --- 3 0.2
D A,B,C 8 0.4
E D 1 0.3
F C 4 0.2
G E,F 7 0.5
H D 8 1.0
I F,H 7 0.2

El proyecto corresponde al lanzamiento de una aplicación móvil; las actividades son las siguientes (las duraciones del cuadro están en semanas).

Tabla 2: Descripción de las actividades
Descripción
A Estudio de requisitos
B Diseño de la arquitectura
C Diseño de interfaz y prototipo
D Base de datos y modelo
E API del servidor
F Pantallas principales
G Módulo de pagos
H Notificaciones y sincronización
I Pruebas de integración

Resolución

Apartado 1

  1. Determine la duración media del proyecto y su(s) camino(s) crítico(s).

Cálculo de los tiempos tempranos y tardíos de los sucesos y de las holguras totales paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):

paso 0 de 33
Figura 1: Grafo PERT con tiempos de los nodos y camino crítico
Tabla 3: Holgura total de las actividades
@2→5 @3→5 @4→7 @4→8 A B C D E F G H I
H_total 1 0 13 13 0 0 1 0 7 13 7 0 0 
Route_2: A - D - H - I
Route_4: B - D - H - I

La duración media del proyecto es 27 semanas y tiene 2 ruta(s) crítica(s).

Apartado 2

  1. Calcule la varianza y la desviación típica de la duración del proyecto. ¿Qué ruta crítica debe usarse para ello? Razone la respuesta.

Por el teorema central del límite, la duración de una ruta es aproximadamente normal con media la suma de las medias y varianza la suma de las varianzas de sus actividades. Para el proyecto se toma la ruta crítica; si hay varias, la de mayor varianza, que es la hipótesis más prudente (la verdadera distribución del máximo de varias rutas no es normal, y el método PERT la aproxima así).

Tabla 4: Varianza de las rutas críticas
  Activities Variance Formula
Route_2 A, D, H, I 1.56 σ²(A) + σ²(D) + σ²(H) + σ²(I) = 0.36 + 0.16 + 1 + 0.04 = 1.56
Route_4 B, D, H, I 1.29 σ²(B) + σ²(D) + σ²(H) + σ²(I) = 0.09 + 0.16 + 1 + 0.04 = 1.29

Sumando actividad a actividad a lo largo de cada ruta (la media de una ruta es la suma de las medias; su varianza, la suma de las varianzas):

Tabla 5: Media y varianza de cada ruta, sumando sus actividades
actividades media = suma media varianza = suma varianza
Route_1 A - D - E - G A(4) + D(8) + E(1) + G(7) = 20 20.0 A(0.360) + D(0.160) + E(0.090) + G(0.250) = 0.860 0.86
Route_2 A - D - H - I A(4) + D(8) + H(8) + I(7) = 27 27.0 A(0.360) + D(0.160) + H(1.000) + I(0.040) = 1.560 1.56
Route_3 B - D - E - G B(4) + D(8) + E(1) + G(7) = 20 20.0 B(0.090) + D(0.160) + E(0.090) + G(0.250) = 0.590 0.59
Route_4 B - D - H - I B(4) + D(8) + H(8) + I(7) = 27 27.0 B(0.090) + D(0.160) + H(1.000) + I(0.040) = 1.290 1.29
Route_5 C - D - E - G C(3) + D(8) + E(1) + G(7) = 19 19.0 C(0.040) + D(0.160) + E(0.090) + G(0.250) = 0.540 0.54
Route_6 C - D - H - I C(3) + D(8) + H(8) + I(7) = 26 26.0 C(0.040) + D(0.160) + H(1.000) + I(0.040) = 1.240 1.24
Route_7 C - F - G C(3) + F(4) + G(7) = 14 14.0 C(0.040) + F(0.040) + G(0.250) = 0.330 0.33
Route_8 C - F - I C(3) + F(4) + I(7) = 14 14.0 C(0.040) + F(0.040) + I(0.040) = 0.120 0.12

La varianza del proyecto es 1.560 y su desviación típica 1.249 semanas.

Apartado 3

  1. ¿Qué probabilidad hay de terminar el proyecto en 29 semanas o menos?

Con \(T \sim N(\mu, \sigma)\): \(P(T \le t) = \Phi\left(\frac{t - \mu}{\sigma}\right)\).

z = (29 − 27) / 1.249 = 1.601, luego P(T ≤ 29) = Φ(1.601) = 0.9453 (94.5 %).

Apartado 4

  1. ¿Qué probabilidad hay de terminar entre las semanas 26 y 29?

P(26 < T ≤ 29) = Φ(1.601) − Φ(-0.801) = 0.9453 − 0.2117 = 0.7337 (73.4 %).

Apartado 5

  1. ¿Qué duración puede comprometerse con el cliente con una probabilidad del 95% de cumplirla?

Se busca \(t\) tal que \(P(T \le t) = p\), es decir, \(t = \mu + z_p\,\sigma\) con \(z_p = \Phi^{-1}(p)\).

z = 1.645; t = 27 + 1.645 × 1.249 = 29.05 semanas. Como el calendario se mide en semanas enteras, se comprometerían 30 semanas.

Apartado 6

  1. ¿Qué probabilidad hay de terminar en la duración media o antes? ¿Puede garantizarse esa duración con un 95% de probabilidad sin modificar el proyecto?

La duración media es la mediana de la normal, así que P(T ≤ 27) = 0.5: sólo la mitad de las veces se terminaría en la duración media o antes. Para garantizarla con un 95% haría falta que la media del proyecto fuera 27 − 1.645 × 1.249 = 24.95 semanas, es decir, reducir el proyecto (acortando actividades críticas) o reducir su varianza. Sin tocar el proyecto no es posible.