Probabilidad 01

9 actividades, 1 ruta(s) crítica(s), σ = 1.18

Enunciado

Considere el proyecto cuyo cuadro de prelaciones, duraciones medias y desviaciones típicas (en semanas) se adjunta.

  1. Determine la duración media del proyecto y su(s) camino(s) crítico(s).
  1. Calcule la varianza y la desviación típica de la duración del proyecto.
  1. ¿Qué probabilidad hay de terminar el proyecto en 33 semanas o menos?
  1. ¿Qué probabilidad hay de terminar entre las semanas 30 y 33?
  1. ¿Qué duración puede comprometerse con el cliente con una probabilidad del 95% de cumplirla?
  1. ¿Qué probabilidad hay de terminar en la duración media o antes? ¿Puede garantizarse esa duración con un 95% de probabilidad sin modificar el proyecto?
Tabla 1: Cuadro de datos del enunciado
predecessor duration standard_deviation
activity
A --- 7 0.8
B --- 8 0.5
C A,B 8 0.8
D C 3 0.5
E C 3 0.5
F D 5 0.4
G E,F 4 0.3
H E,F 1 0.1
I G,H 3 0.1

Resolución

Apartado 1

  1. Determine la duración media del proyecto y su(s) camino(s) crítico(s).

Cálculo de los tiempos tempranos y tardíos de los sucesos y de las holguras totales paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):

paso 0 de 31
Figura 1: Grafo PERT con tiempos de los nodos y camino crítico
Tabla 2: Holgura total de las actividades
@2→3 @7→8 A B C D E F G H I
H_total 1 0 1 0 0 0 5 0 0 3 0 
Route_5: B - C - D - F - G - I

La duración media del proyecto es 31 semanas y tiene 1 ruta(s) crítica(s).

Apartado 2

  1. Calcule la varianza y la desviación típica de la duración del proyecto.

Por el teorema central del límite, la duración de una ruta es aproximadamente normal con media la suma de las medias y varianza la suma de las varianzas de sus actividades. Para el proyecto se toma la ruta crítica; si hay varias, la de mayor varianza, que es la hipótesis más prudente (la verdadera distribución del máximo de varias rutas no es normal, y el método PERT la aproxima así).

Tabla 3: Varianza de las rutas críticas
  Activities Variance Formula
Route_5 B, C, D, F, G, I 1.40 σ²(B) + σ²(C) + σ²(D) + σ²(F) + σ²(G) + σ²(I) = 0.25 + 0.64 + 0.25 + 0.16 + 0.09 + 0.01 = 1.4

Sumando actividad a actividad a lo largo de cada ruta (la media de una ruta es la suma de las medias; su varianza, la suma de las varianzas):

Tabla 4: Media y varianza de cada ruta, sumando sus actividades
actividades media = suma media varianza = suma varianza
Route_1 A - C - D - F - G - I A(7) + C(8) + D(3) + F(5) + G(4) + I(3) = 30 30.0 A(0.640) + C(0.640) + D(0.250) + F(0.160) + G(... 1.79
Route_2 A - C - D - F - H - I A(7) + C(8) + D(3) + F(5) + H(1) + I(3) = 27 27.0 A(0.640) + C(0.640) + D(0.250) + F(0.160) + H(... 1.71
Route_3 A - C - E - G - I A(7) + C(8) + E(3) + G(4) + I(3) = 25 25.0 A(0.640) + C(0.640) + E(0.250) + G(0.090) + I(... 1.63
Route_4 A - C - E - H - I A(7) + C(8) + E(3) + H(1) + I(3) = 22 22.0 A(0.640) + C(0.640) + E(0.250) + H(0.010) + I(... 1.55
Route_5 B - C - D - F - G - I B(8) + C(8) + D(3) + F(5) + G(4) + I(3) = 31 31.0 B(0.250) + C(0.640) + D(0.250) + F(0.160) + G(... 1.4
Route_6 B - C - D - F - H - I B(8) + C(8) + D(3) + F(5) + H(1) + I(3) = 28 28.0 B(0.250) + C(0.640) + D(0.250) + F(0.160) + H(... 1.32
Route_7 B - C - E - G - I B(8) + C(8) + E(3) + G(4) + I(3) = 26 26.0 B(0.250) + C(0.640) + E(0.250) + G(0.090) + I(... 1.24
Route_8 B - C - E - H - I B(8) + C(8) + E(3) + H(1) + I(3) = 23 23.0 B(0.250) + C(0.640) + E(0.250) + H(0.010) + I(... 1.16

La varianza del proyecto es 1.400 y su desviación típica 1.183 semanas.

Apartado 3

  1. ¿Qué probabilidad hay de terminar el proyecto en 33 semanas o menos?

Con \(T \sim N(\mu, \sigma)\): \(P(T \le t) = \Phi\left(\frac{t - \mu}{\sigma}\right)\).

z = (33 − 31) / 1.183 = 1.690, luego P(T ≤ 33) = Φ(1.690) = 0.9545 (95.5 %).

Apartado 4

  1. ¿Qué probabilidad hay de terminar entre las semanas 30 y 33?

P(30 < T ≤ 33) = Φ(1.690) − Φ(-0.845) = 0.9545 − 0.1990 = 0.7555 (75.6 %).

Apartado 5

  1. ¿Qué duración puede comprometerse con el cliente con una probabilidad del 95% de cumplirla?

Se busca \(t\) tal que \(P(T \le t) = p\), es decir, \(t = \mu + z_p\,\sigma\) con \(z_p = \Phi^{-1}(p)\).

z = 1.645; t = 31 + 1.645 × 1.183 = 32.95 semanas. Como el calendario se mide en semanas enteras, se comprometerían 33 semanas.

Apartado 6

  1. ¿Qué probabilidad hay de terminar en la duración media o antes? ¿Puede garantizarse esa duración con un 95% de probabilidad sin modificar el proyecto?

La duración media es la mediana de la normal, así que P(T ≤ 31) = 0.5: sólo la mitad de las veces se terminaría en la duración media o antes. Para garantizarla con un 95% haría falta que la media del proyecto fuera 31 − 1.645 × 1.183 = 29.05 semanas, es decir, reducir el proyecto (acortando actividades críticas) o reducir su varianza. Sin tocar el proyecto no es posible.