Enunciado
El equipo ha dado tres estimaciones de la duración de cada actividad (optimista \(a\), más probable \(m\) y pesimista \(b\), en semanas). Para las actividades D y F se extravió la estimación optimista, pero se conserva la duración media que se había calculado.
- Calcule la duración media y la varianza de cada actividad según el método PERT.
- Recupere la estimación optimista de D y F a partir de su duración media.
- Dibuje el grafo PERT, determine el camino crítico con las duraciones medias y la duración media del proyecto. ¿Qué papel juegan las estimaciones optimista y pesimista en ese cálculo?
- Para la actividad B, compare la media y la desviación típica que resultan de suponer una distribución Beta-PERT, una triangular y una uniforme con los mismos valores extremos. ¿Cuál es más prudente?
El proyecto corresponde a la producción de un cortometraje; las actividades son las siguientes (las duraciones del cuadro están en días).
Resolución
Apartado 1
- Calcule la duración media y la varianza de cada actividad según el método PERT.
El método PERT supone que la duración sigue una distribución Beta cuya media y varianza se aproximan por
\[D = \frac{a + 4m + b}{6}, \qquad \sigma^2 = \left(\frac{b - a}{6}\right)^2.\]
| activity |
|
|
|
|
|
|
| A |
--- |
6 |
8 |
10 |
8.0 |
0.444444 |
| B |
--- |
3 |
3 |
9 |
4.0 |
1.000000 |
| C |
A,B |
5 |
6 |
13 |
7.0 |
1.777778 |
| D |
A |
? |
4 |
7 |
4 |
NaN |
| E |
B,D |
5 |
8 |
11 |
8.0 |
1.000000 |
| F |
B |
? |
8 |
11 |
8 |
NaN |
| G |
C,E,F |
3 |
3 |
9 |
4.0 |
1.000000 |
Apartado 2
- Recupere la estimación optimista de D y F a partir de su duración media.
Despejando en la fórmula de la media: \(a = 6D - 4m - b\).
| activity |
|
|
|
|
|
| D |
1.0 |
4.0 |
7.0 |
4.0 |
1.0 |
| F |
5.0 |
8.0 |
11.0 |
8.0 |
1.0 |
Apartado 3
- Dibuje el grafo PERT, determine el camino crítico con las duraciones medias y la duración media del proyecto. ¿Qué papel juegan las estimaciones optimista y pesimista en ese cálculo?
Cálculo de los tiempos mínimos y máximos de los nodos del grafo Roy paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):
La duración media del proyecto es 24 semanas. Las estimaciones optimista y pesimista no intervienen directamente en el camino crítico: sólo a través de la media de cada actividad. Donde sí cuentan es en la varianza, y por tanto en la probabilidad de cumplir un plazo.
Apartado 4
- Para la actividad B, compare la media y la desviación típica que resultan de suponer una distribución Beta-PERT, una triangular y una uniforme con los mismos valores extremos. ¿Cuál es más prudente?
Con los mismos extremos \(a\) y \(b\) (y la misma moda \(m\) en la triangular):
| Beta-PERT |
\((a + 4m + b)/6\) |
\(((b-a)/6)^2\) |
| Triangular |
\((a + m + b)/3\) |
\((a^2 + m^2 + b^2 - ab - am - bm)/18\) |
| Uniforme |
\((a + b)/2\) |
\((b-a)^2/12\) |
| media |
4.0 |
5.000 |
6.000 |
| varianza |
1.0 |
2.000 |
3.000 |
| desviación típica |
1.0 |
1.414 |
1.732 |
La Beta-PERT concentra la probabilidad cerca de la moda (3) y por eso tiene la menor varianza; la uniforme reparte la probabilidad por igual entre 3 y 9 y es la más dispersa; la triangular queda en medio. Cuando la moda no está centrada, las medias también difieren: la PERT pesa la moda cuatro veces y se queda más cerca de ella. La uniforme es la hipótesis más prudente (mayor varianza), pero sólo está justificada si de verdad no se sabe nada entre los extremos.