Estimaciones 02

7 actividades, 2 con estimaciones asimétricas

Enunciado

El equipo ha dado tres estimaciones de la duración de cada actividad (optimista \(a\), más probable \(m\) y pesimista \(b\), en semanas). Para las actividades B y A se extravió la estimación optimista, pero se conserva la duración media que se había calculado.

Calcule la duración media y la varianza de cada actividad según el método PERT.

Recupere la estimación optimista de B y A a partir de su duración media.

Dibuje el grafo PERT, determine el camino crítico con las duraciones medias y la duración media del proyecto. ¿Qué papel juegan las estimaciones optimista y pesimista en ese cálculo?

Para la actividad G, compare la media y la desviación típica que resultan de suponer una distribución Beta-PERT, una triangular y una uniforme con los mismos valores extremos. ¿Cuál es más prudente?

Tabla 1: Cuadro de datos del enunciado

	predecessor	a	m	b	duration
activity
A	---	?	3	5	3
B	---	?	6	8	6
C	A	1	3	5	?
D	C	6	8	10	?
E	B,D	3	9	9	?
F	B,C	3	6	9	?
G	E,F	4	4	10	?

Resolución

Apartado 1

Calcule la duración media y la varianza de cada actividad según el método PERT.

El método PERT supone que la duración sigue una distribución Beta cuya media y varianza se aproximan por

\[D = \frac{a + 4m + b}{6}, \qquad \sigma^2 = \left(\frac{b - a}{6}\right)^2.\]

	predecessor	a	m	b	duration	variance
activity
A	---	?	3	5	3	NaN
B	---	?	6	8	6	NaN
C	A	1	3	5	3.0	0.444444
D	C	6	8	10	8.0	0.444444
E	B,D	3	9	9	8.0	1.000000
F	B,C	3	6	9	6.0	1.000000
G	E,F	4	4	10	5.0	1.000000

Tabla 2: Media y varianza de cada actividad con los números sustituidos

	D = (a + 4m + b)/6	σ² = ((b − a)/6)²
C	(1 + 4·3 + 5)/6 = 3.00	((5 − 1)/6)² = 0.444
D	(6 + 4·8 + 10)/6 = 8.00	((10 − 6)/6)² = 0.444
E	(3 + 4·9 + 9)/6 = 8.00	((9 − 3)/6)² = 1.000
F	(3 + 4·6 + 9)/6 = 6.00	((9 − 3)/6)² = 1.000
G	(4 + 4·4 + 10)/6 = 5.00	((10 − 4)/6)² = 1.000

Apartado 2

Recupere la estimación optimista de B y A a partir de su duración media.

Despejando en la fórmula de la media: \(a = 6D - 4m - b\).

	a	m	b	duration	variance
activity
A	1.0	3.0	5.0	3.0	0.444444
B	4.0	6.0	8.0	6.0	0.444444

Apartado 3

Dibuje el grafo PERT, determine el camino crítico con las duraciones medias y la duración media del proyecto. ¿Qué papel juegan las estimaciones optimista y pesimista en ese cálculo?

Cálculo de los tiempos tempranos y tardíos de los sucesos y de las holguras totales paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):

paso 0 de 25

Figura 1: Grafo PERT con las duraciones medias y el camino crítico

Route_1 : A, C, D, E, G

La duración media del proyecto es 27 semanas. Las estimaciones optimista y pesimista no intervienen directamente en el camino crítico: sólo a través de la media de cada actividad. Donde sí cuentan es en la varianza, y por tanto en la probabilidad de cumplir un plazo.

Apartado 4

Para la actividad G, compare la media y la desviación típica que resultan de suponer una distribución Beta-PERT, una triangular y una uniforme con los mismos valores extremos. ¿Cuál es más prudente?

Con los mismos extremos \(a\) y \(b\) (y la misma moda \(m\) en la triangular):

Distribución	Media	Varianza
Beta-PERT	\((a + 4m + b)/6\)	\(((b-a)/6)^2\)
Triangular	\((a + m + b)/3\)	\((a^2 + m^2 + b^2 - ab - am - bm)/18\)
Uniforme	\((a + b)/2\)	\((b-a)^2/12\)

	Beta-PERT	Triangular	Uniforme
media	5.0	6.000	7.000
varianza	1.0	2.000	3.000
desviación típica	1.0	1.414	1.732

La Beta-PERT concentra la probabilidad cerca de la moda (4) y por eso tiene la menor varianza; la uniforme reparte la probabilidad por igual entre 4 y 10 y es la más dispersa; la triangular queda en medio. Cuando la moda no está centrada, las medias también difieren: la PERT pesa la moda cuatro veces y se queda más cerca de ella. La uniforme es la hipótesis más prudente (mayor varianza), pero sólo está justificada si de verdad no se sabe nada entre los extremos.