Holguras 09

10 actividades, 1 ruta(s) crítica(s)

Enunciado

Considere el proyecto cuyo cuadro de prelaciones y duraciones (en semanas) se adjunta.

  1. Calcule para cada actividad sus fechas más tempranas y más tardías de inicio y fin, y sus holguras total, libre e independiente.
  1. Determine el camino crítico. ¿Cuántas rutas críticas tiene el proyecto?
  1. ¿Qué actividades pueden retrasarse sin afectar ni al plazo del proyecto ni al inicio más temprano de ninguna otra actividad? ¿Cuáles pueden retrasarse sin afectar al plazo pero obligando a retrasar a alguna sucesora? Justifíquelo con las holguras.
  1. La actividad B se retrasa tanto como permite su holgura total (18 semanas). Compruebe que el plazo no cambia y determine qué ocurre con las fechas y holguras de sus sucesoras.
  1. Suponga que las predecesoras de F terminan en su fecha más tardía. ¿Cuánto puede retrasarse entonces F sin afectar a nadie? Relaciónelo con su holgura independiente.
Tabla 1: Cuadro de datos del enunciado
predecessor duration
activity
A --- 6
B --- 2
C --- 7
D A 6
E B 2
F B 7
G C,D 8
H G 7
I E,F,H 4
J I 1

Resolución

Apartado 1

  1. Calcule para cada actividad sus fechas más tempranas y más tardías de inicio y fin, y sus holguras total, libre e independiente.

Cálculo de los tiempos mínimos y máximos de los nodos del grafo Roy paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):

paso 0 de 26
Figura 1: Grafo Roy con tiempos y camino crítico

Con las fechas de cada actividad (ES, EF, LS, LF) y las de sus vecinas se definen las tres holguras:

  • Total: \(H_t = LS - ES = LF - EF\). Retraso máximo sin alargar el proyecto, suponiendo que las predecesoras acaban lo antes posible y las sucesoras pueden empezar lo más tarde posible.
  • Libre: \(H_l = \min_{s \in suc} ES_s - EF\). Retraso máximo sin mover el inicio más temprano de ninguna sucesora.
  • Independiente: \(H_i = \max\bigl(0,\ \min_{s \in suc} ES_s - \max_{p \in pred} LF_p - D\bigr)\). Retraso disponible incluso si las predecesoras acaban lo más tarde posible y las sucesoras deben empezar lo antes posible.

Siempre \(H_t \ge H_l \ge H_i\).

Tabla 2: Calendario y holguras del proyecto
Haz clic en un número de la tabla para ver cómo se calcula.
👆 Interactivo: haz clic en cualquier celda de la tabla para ver cómo se calcula (otro clic la deselecciona).
Actividad Duración Inicio más temprano Fin más temprano Inicio más tardío Fin más tardío H total H libre H independiente
A 6 0 6 0 6 0 0 0
B 2 0 2 18 20 18 0 0
C 7 0 7 5 12 5 5 5
D 6 6 12 6 12 0 0 0
E 2 2 4 25 27 23 23 5
F 7 2 9 20 27 18 18 0
G 8 12 20 12 20 0 0 0
H 7 20 27 20 27 0 0 0
I 4 27 31 27 31 0 0 0
J 1 31 32 31 32 0 0 0

Con los números sustituidos, actividad a actividad (ES, EF, LS y LF son inicio y fin más tempranos y más tardíos; «pred.» y «suc.» las predecesoras y sucesoras inmediatas):

Tabla 3: Cálculo paso a paso de fechas y holguras
ES = máx EF pred. EF = ES + d LF = mín LS suc. LS = LF − d H_total = LS − ES H_libre = mín ES suc. − EF H_indep. = máx(0, mín ES suc. − máx LF pred. − d)
actividad
A inicial → 0 0 + 6 = 6 mín(D: 6) = 6 6 − 6 = 0 0 − 0 = 0 6 − 6 = 0 máx(0, 6 − 0 − 6) = 0
B inicial → 0 0 + 2 = 2 mín(E: 25, F: 20) = 20 20 − 2 = 18 18 − 0 = 18 2 − 2 = 0 máx(0, 2 − 0 − 2) = 0
C inicial → 0 0 + 7 = 7 mín(G: 12) = 12 12 − 7 = 5 5 − 0 = 5 12 − 7 = 5 máx(0, 12 − 0 − 7) = 5
D máx(A: 6) = 6 6 + 6 = 12 mín(G: 12) = 12 12 − 6 = 6 6 − 6 = 0 12 − 12 = 0 máx(0, 12 − 6 − 6) = 0
E máx(B: 2) = 2 2 + 2 = 4 mín(I: 27) = 27 27 − 2 = 25 25 − 2 = 23 27 − 4 = 23 máx(0, 27 − 20 − 2) = 5
F máx(B: 2) = 2 2 + 7 = 9 mín(I: 27) = 27 27 − 7 = 20 20 − 2 = 18 27 − 9 = 18 máx(0, 27 − 20 − 7) = 0
G máx(C: 7, D: 12) = 12 12 + 8 = 20 mín(H: 20) = 20 20 − 8 = 12 12 − 12 = 0 20 − 20 = 0 máx(0, 20 − 12 − 8) = 0
H máx(G: 20) = 20 20 + 7 = 27 mín(I: 27) = 27 27 − 7 = 20 20 − 20 = 0 27 − 27 = 0 máx(0, 27 − 20 − 7) = 0
I máx(E: 4, F: 9, H: 27) = 27 27 + 4 = 31 mín(J: 31) = 31 31 − 4 = 27 27 − 27 = 0 31 − 31 = 0 máx(0, 31 − 27 − 4) = 0
J máx(I: 31) = 31 31 + 1 = 32 final → 32 32 − 1 = 31 31 − 31 = 0 32 (fin) − 32 = 0 máx(0, 32 − 31 − 1) = 0

Apartado 2

  1. Determine el camino crítico. ¿Cuántas rutas críticas tiene el proyecto?
Route_1: A - D - G - H - I - J

La duración del proyecto es 32 semanas y hay 1 ruta(s) crítica(s). Las actividades críticas son las de holgura total nula; cuando varias rutas comparten la duración máxima, todas ellas son críticas y un retraso en cualquiera alarga el proyecto.

Apartado 3

  1. ¿Qué actividades pueden retrasarse sin afectar ni al plazo del proyecto ni al inicio más temprano de ninguna otra actividad? ¿Cuáles pueden retrasarse sin afectar al plazo pero obligando a retrasar a alguna sucesora? Justifíquelo con las holguras.
  • Pueden retrasarse (hasta su holgura libre) sin mover a ninguna otra actividad: C, E, F.
  • Tienen holgura total mayor que la libre, así que agotar la total obliga a retrasar sucesoras aunque el plazo se mantenga: B.
Tabla 4: Actividades cuyo retraso repercute en sus sucesoras
H_total H_libre H_independiente
activity
B 18 0 0

Apartado 4

  1. La actividad B se retrasa tanto como permite su holgura total (18 semanas). Compruebe que el plazo no cambia y determine qué ocurre con las fechas y holguras de sus sucesoras.

Un retraso de B igual a su holgura total equivale a alargar su duración en 18 semanas. Recalculamos el calendario con esa duración.

antes después
inicio_mas_temprano H_total H_libre inicio_mas_temprano H_total H_libre
activity
E 2 23 23 20 5 5
F 2 18 18 20 0 0

La duración del proyecto sigue siendo 32 semanas, pero B ha consumido holgura que compartía con sus sucesoras: las que tenían inicio más temprano anterior al nuevo fin de B se retrasan y su holgura total se reduce; alguna pasa a ser crítica.

Apartado 5

  1. Suponga que las predecesoras de F terminan en su fecha más tardía. ¿Cuánto puede retrasarse entonces F sin afectar a nadie? Relaciónelo con su holgura independiente.

Si las predecesoras de F (B) acaban en su fecha más tardía, F no puede empezar antes de la semana 20. Para no mover a sus sucesoras (I) debe acabar antes de la semana 27. Le quedan 27 − 20 − 7 = 0 semanas, es decir, su holgura independiente, 0 (si el cálculo sale negativo la holgura es cero). Su holgura libre, 18, supone en cambio que las predecesoras acaban lo antes posible.