Zaderenko 09

9 actividades, 9 nodos, 2 ficticias

Enunciado

Considere el proyecto cuyo cuadro de prelaciones y duraciones (en días) se adjunta.

  1. Dibuje el grafo PERT y numere sus nodos.
  1. Construya la matriz de Zaderenko y calcule con ella los tiempos más tempranos y más tardíos de cada nodo. ¿Cuál es la duración del proyecto?
  1. Calcule el calendario del proyecto: inicio y fin más tempranos y más tardíos de cada actividad.
  1. Dibuje el diagrama de Gantt con las actividades en su inicio más temprano, con las flechas de prelación entre barras, e indique sobre él las holguras.
  1. La actividad A va a durar 8 días más de lo previsto. Recalcule la duración del proyecto y explique el resultado a partir de la holgura de A.
Tabla 1: Cuadro de datos del enunciado
predecessor duration
activity
A --- 1
B --- 7
C A,B 3
D B 5
E C 8
F E 6
G F 1
H D,E 5
I G,H 4

Resolución

Apartado 1

  1. Dibuje el grafo PERT y numere sus nodos.
Tabla 2: Cuadro de prelaciones expandido
matriz de enlace
Figura 1: Grafo PERT con numeración de nodos

Apartado 2

  1. Construya la matriz de Zaderenko y calcule con ella los tiempos más tempranos y más tardíos de cada nodo. ¿Cuál es la duración del proyecto?

En la matriz de Zaderenko la casilla (i, j) contiene la duración de la actividad que va del nodo i al nodo j (cero para las ficticias). El tiempo más temprano de un nodo es el máximo, sobre su columna, de «tiempo temprano del origen más duración»; el más tardío es el mínimo, sobre su fila, de «tiempo tardío del destino menos duración». Los tempranos se calculan de izquierda a derecha y los tardíos de derecha a izquierda, partiendo del tiempo temprano del último nodo.

Algoritmo de Zaderenko paso a paso, con el grafo PERT arriba y la matriz debajo. El primer paso muestra el resultado final; a partir del siguiente se construye desde el principio (avance con los botones):

Tabla 3: Matriz de Zaderenko
paso 0 de 20
Tabla 4: Tiempos tempranos y tardíos de los nodos
early late
1 0 0
2 7 7
3 7 7
4 10 10
5 18 18
6 24 24
7 18 20
8 25 25
9 29 29

Cada tiempo temprano es el máximo, sobre los arcos que llegan al nodo, de «tiempo temprano del origen + duración del arco»; cada tiempo tardío, el mínimo, sobre los arcos que salen, de «tiempo tardío del destino − duración». Las ficticias (@) aportan duración 0. Las tablas recogen los candidatos que se comparan en cada nodo.

Tabla 5: Tiempos tempranos: candidatos en cada nodo (de izquierda a derecha)
candidatos t_i + d_ij tiempo temprano = máx
nodo
1 nodo inicial 0
2 B: 0 + 7 = 7 7
3 A: 0 + 1 = 1; @2→3: 7 + 0 = 7 7
4 C: 7 + 3 = 10 10
5 E: 10 + 8 = 18 18
6 F: 18 + 6 = 24 24
7 D: 7 + 5 = 12; @5→7: 18 + 0 = 18 18
8 H: 18 + 5 = 23; G: 24 + 1 = 25 25
9 I: 25 + 4 = 29 29
Tabla 6: Tiempos tardíos: candidatos en cada nodo (de derecha a izquierda)
candidatos t*_j − d_ij tiempo tardío = mín
nodo
9 nodo final (= su tiempo temprano) 29
8 I: 29 − 4 = 25 25
7 H: 25 − 5 = 20 20
6 G: 25 − 1 = 24 24
5 F: 24 − 6 = 18; @5→7: 20 − 0 = 20 18
4 E: 18 − 8 = 10 10
3 C: 10 − 3 = 7 7
2 @2→3: 7 − 0 = 7; D: 20 − 5 = 15 7
1 B: 7 − 7 = 0; A: 7 − 1 = 6 0

La duración del proyecto es el tiempo más temprano del último nodo: 29 días.

Apartado 3

  1. Calcule el calendario del proyecto: inicio y fin más tempranos y más tardíos de cada actividad.

Para una actividad que va del nodo i al nodo j: el inicio más temprano es el tiempo temprano de i, el fin más temprano es ese inicio más la duración, el fin más tardío es el tiempo tardío de j y el inicio más tardío es ese fin menos la duración.

Tabla 7: Calendario del proyecto
Haz clic en un número de la tabla para ver cómo se calcula.
👆 Interactivo: haz clic en cualquier celda de la tabla para ver cómo se calcula (otro clic la deselecciona).
Actividad Duración Inicio más temprano Fin más temprano Inicio más tardío Fin más tardío H total H libre H independiente
A 1 0 1 6 7 6 6 6
B 7 0 7 0 7 0 0 0
C 3 7 10 7 10 0 0 0
D 5 7 12 15 20 8 6 6
E 8 10 18 10 18 0 0 0
F 6 18 24 18 24 0 0 0
G 1 24 25 24 25 0 0 0
H 5 18 23 20 25 2 2 0
I 4 25 29 25 29 0 0 0
Tabla 8: Fechas de cada actividad a partir de los tiempos de sus nodos
ES = máx EF pred. EF = ES + d LF = mín LS suc. LS = LF − d H_total = LS − ES
actividad
A inicial → 0 0 + 1 = 1 mín(C: 7) = 7 7 − 1 = 6 6 − 0 = 6
B inicial → 0 0 + 7 = 7 mín(C: 7, D: 15) = 7 7 − 7 = 0 0 − 0 = 0
C máx(A: 1, B: 7) = 7 7 + 3 = 10 mín(E: 10) = 10 10 − 3 = 7 7 − 7 = 0
D máx(B: 7) = 7 7 + 5 = 12 mín(H: 20) = 20 20 − 5 = 15 15 − 7 = 8
E máx(C: 10) = 10 10 + 8 = 18 mín(F: 18, H: 20) = 18 18 − 8 = 10 10 − 10 = 0
F máx(E: 18) = 18 18 + 6 = 24 mín(G: 24) = 24 24 − 6 = 18 18 − 18 = 0
G máx(F: 24) = 24 24 + 1 = 25 mín(I: 25) = 25 25 − 1 = 24 24 − 24 = 0
H máx(D: 12, E: 18) = 18 18 + 5 = 23 mín(I: 25) = 25 25 − 5 = 20 20 − 18 = 2
I máx(G: 25, H: 23) = 25 25 + 4 = 29 final → 29 29 − 4 = 25 25 − 25 = 0

Cálculo de los tiempos tempranos y tardíos de los sucesos y de las holguras totales paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):

paso 0 de 31
Figura 2: Grafo PERT con tiempos de los nodos y camino crítico

Apartado 4

  1. Dibuje el diagrama de Gantt con las actividades en su inicio más temprano, con las flechas de prelación entre barras, e indique sobre él las holguras.

Las flechas unen el final de cada predecesora con el inicio de su sucesora; en rojo, las prelaciones críticas (sin hueco entre barras críticas).

Figura 3: Diagrama de Gantt (inicios más tempranos) con flechas de prelación y holguras

Apartado 5

  1. La actividad A va a durar 8 días más de lo previsto. Recalcule la duración del proyecto y explique el resultado a partir de la holgura de A.

La holgura total de A es 6 días. Un retraso de 8 días supera esa holgura, y la duración del proyecto pasa de 29 a 31 días.

Tabla 9: Calendario con la nueva duración
Haz clic en un número de la tabla para ver cómo se calcula.
👆 Interactivo: haz clic en cualquier celda de la tabla para ver cómo se calcula (otro clic la deselecciona).
Actividad Duración Inicio más temprano Fin más temprano Inicio más tardío Fin más tardío H total H libre H independiente
A 9 0 9 0 9 0 0 0
B 7 0 7 2 9 2 0 0
C 3 9 12 9 12 0 0 0
D 5 7 12 17 22 10 8 6
E 8 12 20 12 20 0 0 0
F 6 20 26 20 26 0 0 0
G 1 26 27 26 27 0 0 0
H 5 20 25 22 27 2 2 0
I 4 27 31 27 31 0 0 0