Roy 03

8 actividades, 3 ficticias en PERT, con espera y solape

Enunciado

Considere el proyecto cuyo cuadro de prelaciones y duraciones (en semanas) se adjunta.

  1. Dibuje el grafo Roy del proyecto (actividades en los nodos).
  1. Dibuje el grafo PERT equivalente. Compare el número de nodos y de arcos de ambos grafos y explique a qué se debe la diferencia.
  1. Calcule sobre el grafo Roy los tiempos más tempranos y más tardíos de inicio y fin de cada actividad, y señale el camino crítico en ambos grafos.
  1. Replantee el proyecto si, además, entre el final de B y el comienzo de D deben transcurrir 3 semanas de espera, y C puede comenzar cuando A está a la mitad de su ejecución. Dibuje el nuevo grafo Roy y calcule la nueva duración del proyecto.
Tabla 1: Cuadro de datos del enunciado
predecessor duration
activity
A --- 8
B --- 1
C A,B 7
D B 6
E C 2
F C,D 7
G C,D 1
H E,F,G 8

El proyecto corresponde a la producción de un cortometraje; las actividades son las siguientes (las duraciones del cuadro están en días).

Tabla 2: Descripción de las actividades
Descripción
A Guion definitivo
B Casting
C Localizaciones y permisos
D Diseño de vestuario y atrezo
E Plan de rodaje
F Ensayos con los actores
G Rodaje de exteriores
H Rodaje en plató

Resolución

Apartado 1

  1. Dibuje el grafo Roy del proyecto (actividades en los nodos).

En el grafo Roy cada actividad es un nodo y cada prelación inmediata un arco. Se añaden dos nodos auxiliares, inicio y fin, para que el grafo tenga un único origen y un único destino. No hacen falta actividades ficticias.

Tabla 3: Cuadro de prelaciones expandido
matriz de enlace
paso 0 de 9
Figura 1: Grafo Roy del proyecto

Apartado 2

  1. Dibuje el grafo PERT equivalente. Compare el número de nodos y de arcos de ambos grafos y explique a qué se debe la diferencia.
Figura 2: Grafo PERT equivalente
nodos arcos ficticias
Roy 10 14 0
PERT 8 11 3

En Roy el número de nodos es fijo (actividades más inicio y fin) y los arcos son las prelaciones. En PERT los arcos son las actividades y los nodos los sucesos; cuando una prelación no puede expresarse compartiendo nodos aparece una ficticia, que es el precio que paga el PERT por representar las actividades como arcos.

Apartado 3

  1. Calcule sobre el grafo Roy los tiempos más tempranos y más tardíos de inicio y fin de cada actividad, y señale el camino crítico en ambos grafos.

Sobre el grafo Roy, el inicio más temprano de una actividad es el máximo de los fines más tempranos de sus predecesoras; el fin más tardío, el mínimo de los inicios más tardíos de sus sucesoras. Son los mismos números que da el PERT.

Tabla 4: Calendario del proyecto
Haz clic en un número de la tabla para ver cómo se calcula.
👆 Interactivo: haz clic en cualquier celda de la tabla para ver cómo se calcula (otro clic la deselecciona).
Actividad Duración Inicio más temprano Fin más temprano Inicio más tardío Fin más tardío H total H libre H independiente
A 8 0 8 0 8 0 0 0
B 1 0 1 7 8 7 0 0
C 7 8 15 8 15 0 0 0
D 6 1 7 9 15 8 8 1
E 2 15 17 20 22 5 5 5
F 7 15 22 15 22 0 0 0
G 1 15 16 21 22 6 6 6
H 8 22 30 22 30 0 0 0

Cómo sale cada fecha: para cada actividad, la tabla muestra los fines más tempranos de sus predecesoras que se comparan (el máximo es su inicio más temprano) y los inicios más tardíos de sus sucesoras (el mínimo es su fin más tardío).

Tabla 5: Cálculo paso a paso de las fechas
ES = máx EF pred. EF = ES + d LF = mín LS suc. LS = LF − d
actividad
A inicial → 0 0 + 8 = 8 mín(C: 8) = 8 8 − 8 = 0
B inicial → 0 0 + 1 = 1 mín(C: 8, D: 9) = 8 8 − 1 = 7
C máx(A: 8, B: 1) = 8 8 + 7 = 15 mín(E: 20, F: 15, G: 21) = 15 15 − 7 = 8
D máx(B: 1) = 1 1 + 6 = 7 mín(F: 15, G: 21) = 15 15 − 6 = 9
E máx(C: 15) = 15 15 + 2 = 17 mín(H: 22) = 22 22 − 2 = 20
F máx(C: 15, D: 7) = 15 15 + 7 = 22 mín(H: 22) = 22 22 − 7 = 15
G máx(C: 15, D: 7) = 15 15 + 1 = 16 mín(H: 22) = 22 22 − 1 = 21
H máx(E: 17, F: 22, G: 16) = 22 22 + 8 = 30 final → 30 30 − 8 = 22
  • Route_2 : A, C, F, H

La duración del proyecto es 30 semanas.

Cálculo de los tiempos mínimos y máximos de los nodos del grafo Roy paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):

paso 0 de 22
Figura 3: Grafo Roy con tiempos y camino crítico

Cálculo de los tiempos tempranos y tardíos de los sucesos y de las holguras totales paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):

paso 0 de 29
Figura 4: Grafo PERT con tiempos y camino crítico

Apartado 4

  1. Replantee el proyecto si, además, entre el final de B y el comienzo de D deben transcurrir 3 semanas de espera, y C puede comenzar cuando A está a la mitad de su ejecución. Dibuje el nuevo grafo Roy y calcule la nueva duración del proyecto.

Las dos condiciones nuevas son relaciones con desfase. Con actividades en los nodos se modelan con actividades auxiliares:

  • La espera entre el final de B y el comienzo de D es una actividad de espera, 💤D, de duración 3 y sin consumo de recursos, que sucede a B y precede a D.
  • Que C pueda comenzar a mitad de A es un solape comienzo-comienzo: se parte A en A1 y A2 (de 4 y 4 semanas) y C pasa a suceder a A1, mientras que las demás sucesoras de A siguen esperando al final de A2.

Cálculo de los tiempos mínimos y máximos de los nodos del grafo Roy paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):

Hacia delante: inicios y fines más tempranos

  • \(ES_{\mathrm{Inicio}} = 0\); \(EF_{\mathrm{Inicio}} = ES_{\mathrm{Inicio}} + d_{\mathrm{Inicio}} = 0+0 = 0\)
  • \(ES_{\mathrm{A1}} = EF_{\mathrm{Inicio}} = 0\)   (Inicio); \(EF_{\mathrm{A1}} = ES_{\mathrm{A1}} + d_{\mathrm{A1}} = 0+4 = 4\)
  • \(ES_{B} = EF_{\mathrm{Inicio}} = 0\)   (Inicio); \(EF_{B} = ES_{B} + d_{B} = 0+1 = 1\)
  • \(ES_{\mathrm{A2}} = EF_{\mathrm{A1}} = 4\)   (A1); \(EF_{\mathrm{A2}} = ES_{\mathrm{A2}} + d_{\mathrm{A2}} = 4+4 = 8\)
  • \(ES_{C} = \max\{EF_{\mathrm{A1}},\ EF_{B}\} = \max\{4,\ 1\} = 4\)   (A1, B); \(EF_{C} = ES_{C} + d_{C} = 4+7 = 11\)
  • \(ES_{\mathrm{💤D}} = EF_{B} = 1\)   (B); \(EF_{\mathrm{💤D}} = ES_{\mathrm{💤D}} + d_{\mathrm{💤D}} = 1+3 = 4\)
  • \(ES_{D} = EF_{\mathrm{💤D}} = 4\)   (💤D); \(EF_{D} = ES_{D} + d_{D} = 4+6 = 10\)
  • \(ES_{E} = EF_{C} = 11\)   (C); \(EF_{E} = ES_{E} + d_{E} = 11+2 = 13\)
  • \(ES_{F} = \max\{EF_{C},\ EF_{D}\} = \max\{11,\ 10\} = 11\)   (C, D); \(EF_{F} = ES_{F} + d_{F} = 11+7 = 18\)
  • \(ES_{G} = \max\{EF_{C},\ EF_{D}\} = \max\{11,\ 10\} = 11\)   (C, D); \(EF_{G} = ES_{G} + d_{G} = 11+1 = 12\)
  • \(ES_{H} = \max\{EF_{E},\ EF_{F},\ EF_{G}\} = \max\{13,\ 18,\ 12\} = 18\)   (E, F, G); \(EF_{H} = ES_{H} + d_{H} = 18+8 = 26\)
  • \(ES_{\mathrm{Fin}} = \max\{EF_{\mathrm{A2}},\ EF_{H}\} = \max\{8,\ 26\} = 26\)   (A2, H); \(EF_{\mathrm{Fin}} = ES_{\mathrm{Fin}} + d_{\mathrm{Fin}} = 26+0 = 26\)
(a) Grafo Roy del proyecto con la espera y el solape

Hacia atrás: fines e inicios más tardíos

  • \(LF_{\mathrm{Fin}} = EF_{\mathrm{Fin}} = 26\); \(LS_{\mathrm{Fin}} = LF_{\mathrm{Fin}} - d_{\mathrm{Fin}} = 26-0 = 26\)
  • \(LF_{H} = LS_{\mathrm{Fin}} = 26\)   (Fin); \(LS_{H} = LF_{H} - d_{H} = 26-8 = 18\)
  • \(LF_{G} = LS_{H} = 18\)   (H); \(LS_{G} = LF_{G} - d_{G} = 18-1 = 17\)
  • \(LF_{F} = LS_{H} = 18\)   (H); \(LS_{F} = LF_{F} - d_{F} = 18-7 = 11\)
  • \(LF_{E} = LS_{H} = 18\)   (H); \(LS_{E} = LF_{E} - d_{E} = 18-2 = 16\)
  • \(LF_{D} = \min\{LS_{F},\ LS_{G}\} = \min\{11,\ 17\} = 11\)   (F, G); \(LS_{D} = LF_{D} - d_{D} = 11-6 = 5\)
  • \(LF_{\mathrm{💤D}} = LS_{D} = 5\)   (D); \(LS_{\mathrm{💤D}} = LF_{\mathrm{💤D}} - d_{\mathrm{💤D}} = 5-3 = 2\)
  • \(LF_{C} = \min\{LS_{E},\ LS_{F},\ LS_{G}\} = \min\{16,\ 11,\ 17\} = 11\)   (E, F, G); \(LS_{C} = LF_{C} - d_{C} = 11-7 = 4\)
  • \(LF_{\mathrm{A2}} = LS_{\mathrm{Fin}} = 26\)   (Fin); \(LS_{\mathrm{A2}} = LF_{\mathrm{A2}} - d_{\mathrm{A2}} = 26-4 = 22\)
  • \(LF_{B} = \min\{LS_{C},\ LS_{\mathrm{💤D}}\} = \min\{4,\ 2\} = 2\)   (C, 💤D); \(LS_{B} = LF_{B} - d_{B} = 2-1 = 1\)
  • \(LF_{\mathrm{A1}} = \min\{LS_{\mathrm{A2}},\ LS_{C}\} = \min\{22,\ 4\} = 4\)   (A2, C); \(LS_{\mathrm{A1}} = LF_{\mathrm{A1}} - d_{\mathrm{A1}} = 4-4 = 0\)
  • \(LF_{\mathrm{Inicio}} = \min\{LS_{\mathrm{A1}},\ LS_{B}\} = \min\{0,\ 1\} = 0\)   (A1, B); \(LS_{\mathrm{Inicio}} = LF_{\mathrm{Inicio}} - d_{\mathrm{Inicio}} = 0-0 = 0\)
(b)
Figura 5
Tabla 6: Calendario del proyecto modificado
Haz clic en un número de la tabla para ver cómo se calcula.
👆 Interactivo: haz clic en cualquier celda de la tabla para ver cómo se calcula (otro clic la deselecciona).
Actividad Duración Inicio más temprano Fin más temprano Inicio más tardío Fin más tardío H total H libre H independiente
B 1 0 1 1 2 1 0 0
C 7 4 11 4 11 0 0 0
D 6 4 10 5 11 1 1 0
E 2 11 13 16 18 5 5 5
F 7 11 18 11 18 0 0 0
G 1 11 12 17 18 6 6 6
H 8 18 26 18 26 0 0 0
A1 4 0 4 0 4 0 0 0
A2 4 4 8 22 26 18 18 18
💤D 3 1 4 2 5 1 0 0

La duración pasa de 30 a 26 semanas: la espera añade tiempo si B-D está en una ruta crítica y el solape lo quita si A-C lo está. Aquí el efecto neto es de -4 semanas.