Considere la información del proyecto cuya información aparece en la tabla adjunta. Considere en cada apartado que el proyecto se encuentra en su situación inalterada mostrada en los datos del proyecto.
¿Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto entre 17 y 19 semanas?
Reduzca, con mínimo incremento de coste la duración media del proyecto a 18 semanas. ¿Cuál será ahora la probabilidad de terminar en 18 semanas? ¿Por qué?
¿Se encuentran nivelados los recursos consumidos por el proyecto? De no ser así proceda a su nivelación.
Si su empresa sólo puede destinar a 6 personas al proyecto, ¿se encuentran los recursos de mano de obra correctamente asignados? Reprográmelo si fuera necesario de modo que se cumpla esta restricción.
Tabla 1: Cuadro de datos del enunciado del ejercicio
predecessor
duration
variance
ucr
resources
crash_duration
activity
A
---
2
1
-100.0
2
1
B
---
4
1
30.0
4
2
C
B
1
1
inf
2
1
D
A
3
1
50.0
2
1
E
B,D
7
1
20.0
2
4
F
C
4
1
10.0
2
2
G
---
1
2
100.0
4
1
H
G
11
2
10.0
2
8
I
E,F,H
2
1
50.0
2
1
J
E,F,H
8
1
5.0
2
7
Solución
Apartado 1
¿Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto entre 17 y 19 semanas?
Cuadro de prelaciones
Comenzamos construyendo el cuadro de prelaciones. Este cuadro nos permitirá construir los grafos Pert o Roy, si atendemos a la información de las filas; o comprobar si el grafo obtenido es correcto, atendiendo a la información de las columnas.
Tabla 2: Cuadro de prelaciones expandido
Grafo PERT con numeración de nodos
paso 0 de 10
Figura 1: Grafo Pert con indicación de los números de nodos
Matriz de Zaderenko
Matriz de Zaderenko paso a paso. El primer paso muestra el resultado final; a partir del siguiente se construye desde el principio (avance con los botones):
Tabla 3: Matriz de Zaderenko para el cálculo de tiempos tempranos y tardíos
paso 0 de 20
Los tiempos tempranos y tardios han resultado ser:
Tabla 4: Valores de los tiempos tempranos y tardíos de los nodos
early
late
1
0
0
2
1
1
3
4
5
4
2
2
5
5
8
6
5
5
7
12
12
8
14
20
9
20
20
Duración media del proyecto
La duración media del proyecto es:
La información del nodo final del proyecto nos informa de la duración media del proyecto: 20 periodos
Holgura total de las actividades
A partir de los tiempos tempranos y tardíos, y de las duraciones de las actividades, podemos determinar la holgura total de las actividades y con ellas las rutas del camino crítico.
Tabla 5: Valor de la holgura total de las actividades
H_total
@3→6
1
@8→9
6
A
0
B
1
C
3
D
0
E
0
F
3
G
0
H
0
I
6
J
0
Camino crítico
El camino crítico consta de las siguientes rutas:
Route_2 : A, D, E, J
Route_8 : G, H, J
Calendario del proyecto
Se muestra a continuación el calendario del proyecto, con indicación de las fechas de inicio y fin más tempranas y tardías de cada actividad:
Tabla 6: Calendario del proyecto
Haz clic en un número de la tabla para ver cómo se calcula.
👆 Interactivo: haz clic en cualquier celda de la tabla para ver cómo se calcula (otro clic la deselecciona).
Actividad
Duración
Inicio más temprano
Fin más temprano
Inicio más tardío
Fin más tardío
H total
H libre
H independiente
A
2
0
2
0
2
0
0
0
B
4
0
4
1
5
1
0
0
C
1
4
5
7
8
3
0
0
D
3
2
5
2
5
0
0
0
E
7
5
12
5
12
0
0
0
F
4
5
9
8
12
3
3
0
G
1
0
1
0
1
0
0
0
H
11
1
12
1
12
0
0
0
I
2
12
14
18
20
6
6
6
J
8
12
20
12
20
0
0
0
Grafo PERT con indicación de tiempos y rutas del camino crítico de acuerdo a la planificación inicial
A continuación se muestra el grafo Pert del proyecto, con indicación de las actividades críticas:
Cálculo de los tiempos tempranos y tardíos de los sucesos y de las holguras totales paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):
paso 0 de 32
Figura 2: Grafo Pert con indicación del camino crítico
Caracterización de la duración del proyecto mediante una distribución Normal
A fin de calcular la probabilidad pedida, es necesario caracterizar la distribución Normal de la duración del proyecto. Esto consiste en determinar los valores de sus parámetros: media y desviación típica de la duración del proyecto.
La duración media del proyecto ya la tenemos calculada: 20 periodos
Para determinar la desviación típica debemos obtener en cada rama del camino crítico la suma de las varianzas, y quedarnos con la mayor.
Tabla 7: Varianza de las rutas del camino crítico
Activities
Variance
Formula
Route_2
A, D, E, J
4.00
σ²(A) + σ²(D) + σ²(E) + σ²(J) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
Route_8
G, H, J
5.00
σ²(G) + σ²(H) + σ²(J) = 2 + 2 + 1 = 5
El proyecto sigue una distribución normal con media 20 periodos y desviación típica 2.24.
Probabilidad de terminar entre 17 y 19 periodos
Una vez caracterizada la distribución normal con la que aproximamos la duración del proyecto, podemos hacer el cálculo de la probabilidad de terminar entre los periodos 17 y 19.
- La probabilidad de terminar antes de 17 periodos es 0.09
- La probabilidad de terminar antes de 19 periodos es 0.33
Por tanto, a partir de la diferencia de estos dos valores tenemos la probabilidad de terminar dentro del mencionado intervalo: 24 por ciento.
Apartado 2
Reduzca, con mínimo incremento de coste la duración media del proyecto a 18 semanas. ¿Cuál será ahora la probabilidad de terminar en 18 semanas? ¿Por qué?
Reducción a la duración objetivo con mínimo incremento de coste
Tabla 8: Cuadro del algoritmo de Ackoff Sasieni
paso -1 de 2
Algoritmo de Ackoff-Sasieni: tabla completa. Pulse «siguiente» para ver cómo se construye.
Datos: coste unitario de reducción de cada actividad en las rutas que la contienen, duración inicial de cada ruta (columna 0) y periodos que puede reducirse cada actividad (fila 0).
Iteración 0: rutas críticas Route_2, Route_8 (duración 20); se acorta un periodo la combinación de menor coste: A, J (coste -95). Resultado: periodos disponibles (fila 1) y duración de las rutas (columna 1); el proyecto dura 19.
Iteración 1: rutas críticas Route_8 (duración 19); se acorta un periodo la combinación de menor coste: H (coste 10). Resultado: periodos disponibles (fila 2) y duración de las rutas (columna 2); el proyecto dura 18. Se alcanzó el número de reducciones pedido.
Probabilidad de terminar antes de 18 periodos
Al ser 18 el valor de la media de la duración, la probabilidad pedida es del 50%.
Apartado 3
¿Se encuentran nivelados los recursos consumidos por el proyecto? De no ser así proceda a su nivelación.
Análisis de la situación inicial
Para responder este apartado es necesario representar la demanda de recursos a lo largo del tiempo.
Figura 3: Distribución inicial del consumo de recursos
Figura 4: Diagrama de cargas del proyecto de acuerdo a su planificación inicial
La demanda de recursos actual no se encuentra nivelada. Se procede a aplicar el algoritmo de nivelación.
Nivelación de los recursos
paso 0 de 19
Nivelación por mínimos cuadrados: solución. Cuadro de la suma de cuadrados de las cargas de cada actividad (entre paréntesis, su holgura total) para cada desplazamiento, con el mínimo resaltado, y diagrama de Gantt con cargas resultante. Orden seguido: actividades no críticas por fin más temprano creciente (a igualdad, la de mayor holgura primero), B, C, F, I; cada desplazamiento elegido queda fijado antes de estudiar la siguiente. Pulse «siguiente» para ver cómo se obtiene.
Actividad B (holgura 1): desplazada 0 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 576.
Actividad B (holgura 1): desplazada 1 periodo, la suma de cuadrados de las cargas es 560.
Actividad B: se elige el desplazamiento 1 (suma de cuadrados mínima, 560); queda aplicado para las siguientes actividades.
Actividad C (holgura 2): desplazada 0 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 560.
Actividad C (holgura 2): desplazada 1 periodo, la suma de cuadrados de las cargas es 560.
Actividad C (holgura 2): desplazada 2 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 560.
Actividad C: se elige el desplazamiento 0 (suma de cuadrados mínima, 560); queda aplicado para las siguientes actividades.
Actividad F (holgura 2): desplazada 0 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 560.
Actividad F (holgura 2): desplazada 1 periodo, la suma de cuadrados de las cargas es 560.
Actividad F (holgura 2): desplazada 2 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 560.
Actividad F: se elige el desplazamiento 0 (suma de cuadrados mínima, 560); queda aplicado para las siguientes actividades.
Actividad I (holgura 6): desplazada 0 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 560.
Actividad I (holgura 6): desplazada 1 periodo, la suma de cuadrados de las cargas es 560.
Actividad I (holgura 6): desplazada 2 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 560.
Actividad I (holgura 6): desplazada 3 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 560.
Actividad I (holgura 6): desplazada 4 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 560.
Actividad I (holgura 6): desplazada 5 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 560.
Actividad I (holgura 6): desplazada 6 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 560.
Actividad I: se elige el desplazamiento 0 (suma de cuadrados mínima, 560); queda aplicado para las siguientes actividades.
Se procede a valorar los posibles desplazamientos de cada actividad no crítica, considerando estas en el orden correspondiente a su fecha de finalización, de más pronto a más tarde (a igualdad, primero la de mayor holgura). El visor anterior muestra el valor de la suma de cuadrados de las cargas para cada actividad, en filas según el mencionado orden, y posible desplazamiento, en columnas; el desplazamiento que minimiza la suma de cuadrados se señala en verde y queda fijado antes de estudiar la siguiente actividad.
El resultado de estos desplazamientos se muestra en la siguiente figura.
Figura 5: Resultado de aplicar el algoritmo de nivelación al proyecto
Figura 6: Diagrama de cargas del proyecto tras aplicar el algoritmo de nivelación
Apartado 4
Si su empresa sólo puede destinar a 6 personas al proyecto, ¿se encuentran los recursos de mano de obra correctamente asignados? Reprográmelo si fuera necesario de modo que se cumpla esta restricción.
La fila “Total” obtenida, que podemos representar gráficamente en la siguiente figura, proporciona la información del consumo previsto de recursos a lo largo del tiempo y el valor límite establecido (línea horizontal discontinua).
Figura 7: Diagrama de cargas antes de aplicar el algoritmo de asignación
El proyecto requiere en algunos periodos más de 6 personas. Es necesario aplicar el algorimo de asignación, según se muestra en la siguiente figura.
paso 0 de 23
Resultado del algoritmo de asignación con los límites de recursos de la fila «Máximo». En cada periodo, si la demanda supera el límite, se ejecutan primero las actividades ya empezadas, después las de menor holgura total y, a igualdad, las más cortas, mientras la carga acumulada no supere el límite; las demás se posponen un periodo (zz en el diagrama). Pulse «siguiente» para ver cómo se decide periodo a periodo.
Periodo 1: la demanda total (10) supera el máximo (6); hay que decidir qué actividades se ejecutan. Criterio de prioridad: (1) las ya empezadas, que no se interrumpen; (2) menor holgura total H, las más críticas; (3) menor duración d. Orden resultante: 1.º G (carga 4, no empezada, H=0, d=1); 2.º A (carga 2, no empezada, H=0, d=2); 3.º B (carga 4, no empezada, H=1, d=4).
Periodo 1: se recorren las actividades por orden de prioridad acumulando carga. Se ejecutan G, A; se posponen B porque, al añadirlas, la carga acumulada superaría el máximo (6).
Periodo 1: las actividades pospuestas (B) se desplazan un periodo, con las que dependen de ellas; este es el diagrama de partida del siguiente periodo.
Periodo 2: la demanda total (8) supera el máximo (6); hay que decidir qué actividades se ejecutan. Criterio de prioridad: (1) las ya empezadas, que no se interrumpen; (2) menor holgura total H, las más críticas; (3) menor duración d. Orden resultante: 1.º A (carga 2, ya empezada, H=0, d=2); 2.º B (carga 4, no empezada, H=0, d=4); 3.º H (carga 2, no empezada, H=0, d=11).
Periodo 2: se recorren las actividades por orden de prioridad acumulando carga. Se ejecutan A, B; se posponen H porque, al añadirlas, la carga acumulada superaría el máximo (6).
Periodo 2: las actividades pospuestas (H) se desplazan un periodo, con las que dependen de ellas; este es el diagrama de partida del siguiente periodo.
Periodo 3: la demanda total (8) supera el máximo (6); hay que decidir qué actividades se ejecutan. Criterio de prioridad: (1) las ya empezadas, que no se interrumpen; (2) menor holgura total H, las más críticas; (3) menor duración d. Orden resultante: 1.º B (carga 4, ya empezada, H=1, d=4); 2.º H (carga 2, no empezada, H=0, d=11); 3.º D (carga 2, no empezada, H=1, d=3).
Periodo 3: se recorren las actividades por orden de prioridad acumulando carga. Se ejecutan B, H; se posponen D porque, al añadirlas, la carga acumulada superaría el máximo (6).
Periodo 3: las actividades pospuestas (D) se desplazan un periodo, con las que dependen de ellas; este es el diagrama de partida del siguiente periodo.
Periodo 4: la demanda total (8) supera el máximo (6); hay que decidir qué actividades se ejecutan. Criterio de prioridad: (1) las ya empezadas, que no se interrumpen; (2) menor holgura total H, las más críticas; (3) menor duración d. Orden resultante: 1.º H (carga 2, ya empezada, H=0, d=11); 2.º B (carga 4, ya empezada, H=1, d=4); 3.º D (carga 2, no empezada, H=0, d=3).
Periodo 4: se recorren las actividades por orden de prioridad acumulando carga. Se ejecutan H, B; se posponen D porque, al añadirlas, la carga acumulada superaría el máximo (6).
Periodo 4: las actividades pospuestas (D) se desplazan un periodo, con las que dependen de ellas; este es el diagrama de partida del siguiente periodo.
Periodo 5: la demanda total (8) supera el máximo (6); hay que decidir qué actividades se ejecutan. Criterio de prioridad: (1) las ya empezadas, que no se interrumpen; (2) menor holgura total H, las más críticas; (3) menor duración d. Orden resultante: 1.º H (carga 2, ya empezada, H=1, d=11); 2.º B (carga 4, ya empezada, H=2, d=4); 3.º D (carga 2, no empezada, H=0, d=3).
Periodo 5: se recorren las actividades por orden de prioridad acumulando carga. Se ejecutan H, B; se posponen D porque, al añadirlas, la carga acumulada superaría el máximo (6).
Periodo 5: las actividades pospuestas (D) se desplazan un periodo, con las que dependen de ellas; este es el diagrama de partida del siguiente periodo.
Periodo 6: la demanda total (6) no supera el máximo (6). Se ejecutan todas las actividades previstas: H, D, C.
Periodos 7 a 8: la demanda (6, 6) no supera el máximo en ninguno (6, 6), con las mismas actividades (D, H, F); se ejecutan todas y no hay nada que decidir.
Periodo 9: la demanda total (6) no supera el máximo (6). Se ejecutan todas las actividades previstas: H, F, E.
Periodo 10: la demanda total (6) no supera el máximo (6). Se ejecutan todas las actividades previstas: E, H, F.
Periodos 11 a 13: la demanda (4, 4, 4) no supera el máximo en ninguno (6, 6, 6), con las mismas actividades (E, H); se ejecutan todas y no hay nada que decidir.
Periodos 14 a 15: la demanda (2, 2) no supera el máximo en ninguno (6, 6), con las mismas actividades (E); se ejecutan todas y no hay nada que decidir.
Periodos 16 a 17: la demanda (4, 4) no supera el máximo en ninguno (6, 6), con las mismas actividades (J, I); se ejecutan todas y no hay nada que decidir.
Periodos 18 a 23: la demanda (2, 2, 2, 2, 2, 2) no supera el máximo en ninguno (6, 6, 6, 6, 6, 6), con las mismas actividades (J); se ejecutan todas y no hay nada que decidir.
Figura 8: Diagrama de Gantt del proyecto tras la asignación
Figura 9: Diagrama de cargas tras aplicar el algoritmo de asignación
Tras aplicar el algoritmo de asignación el proyecto es compatible con los límites establecidos.
