Ejercicio 11

Enunciado

Considere la información del proyecto cuya información aparece en la tabla adjunta:

1. ¿Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto entre 7 y 9 periodos?
   

2. Indique cuales serían las actuaciones a llevar a cabo para reducir con mínimo sobrecoste la duración media del proyecto a 6 periodos.
   

3. Indique cuales serían las actuaciones para poder ejecutar el proyecto con un límite en los recursos de 8 recursos por periodo durante los primeros cuatro periodos, y de 16 recursos por periodo en los siguientes periodos

4. Calcule el valor del CPI y del SPI para el punto de control de 8 periodos.
   

Tabla 1: Cuadro de datos del enunciado del ejercicio

	precedentes	duracion	duracion_tope	desviacion	coste_planificado	coste_real	duracion_real	realizado	cur	recursos
actividad
A	---	2	1	0.2	60	80	2	100	80	4
B	A	2	1	0.3	70	60	2	80	10	2
C	B	3	1	0.4	50	0	0	0	40	1
D	---	4	3	0.5	40	50	5	100	20	4
E	A	1	1	0.1	30	30	3	100	30	3
F	D,E	2	1	0.3	10	10	3	80	40	5
G	---	1	1	0.1	40	50	3	100	20	4
H	G	4	2	0.5	110	140	4	90	50	2
I	D	1	1	0.1	90	70	1	50	60	3
J	H,I,K	2	1	0.4	50	0	0	0	70	1
K	D,G	2	1	0.2	40	30	2	60	90	2
L	H,K	2	1	0.2	30	0	0	0	10	3

Solución

Apartado 1

1. ¿Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto entre 7 y 9 periodos?
   

Cuadro de prelaciones

Comenzamos construyendo el cuadro de prelaciones. Este cuadro nos permitirá construir los grafos Pert o Roy, si atendemos a la información de las filas; o comprobar si el grafo obtenido es correcto, atendiendo a la información de las columnas.

Tabla 2: Cuadro de prelaciones expandido

Grafo PERT con numeración de nodos

paso 0 de 13

Figura 1: Grafo Pert con indicación de los números de nodos

Matriz de Zaderenko

Matriz de Zaderenko paso a paso. El primer paso muestra el resultado final; a partir del siguiente se construye desde el principio (avance con los botones):

Tabla 3: Matriz de Zaderenko para el cálculo de tiempos tempranos y tardíos

paso 0 de 22

Los tiempos tempranos y tardios han resultado ser:

Tabla 4: Valores de los tiempos tempranos y tardíos de los nodos

	early	late
1	0	0
2	1	2
3	4	4
4	2	3
5	4	4
6	4	5
7	4	6
8	6	6
9	6	6
10	8	8

Duración media del proyecto

La información del nodo final del proyecto nos informa de la duración media del proyecto: 8 periodos

Holgura total de las actividades

A partir de los tiempos tempranos y tardíos, y de las duraciones de las actividades, podemos determinar la holgura total de las actividades y con ellas las rutas del camino crítico.

Tabla 5: Valor de la holgura total de las actividades

	H_total
@2→5	3
@3→5	0
@3→7	2
@8→9	0
A	1
B	1
C	1
D	0
E	3
F	2
G	1
H	1
I	1
J	0
K	0
L	0

Camino crítico

El camino crítico consta de las siguientes rutas:

Route_5: D, J, K

Route_6: D, K, L

Calendario del proyecto

Se muestra a continuación el calendario del proyecto, con indicación de las fechas de inicio y fin más tempranas y tardías de cada actividad:

Tabla 6: Calendario del proyecto

Haz clic en un número de la tabla para ver cómo se calcula.

👆 Interactivo: haz clic en cualquier celda de la tabla para ver cómo se calcula (otro clic la deselecciona).

Actividad	Duración	Inicio más temprano	Fin más temprano	Inicio más tardío	Fin más tardío	H total	H libre	H independiente
A	2	0	2	1	3	1	0	0
B	2	2	4	3	5	1	0	0
C	3	4	7	5	8	1	1	0
D	4	0	4	0	4	0	0	0
E	1	2	3	5	6	3	1	0
F	2	4	6	6	8	2	2	0
G	1	0	1	1	2	1	0	0
H	4	1	5	2	6	1	1	0
I	1	4	5	5	6	1	1	1
J	2	6	8	6	8	0	0	0
K	2	4	6	4	6	0	0	0
L	2	6	8	6	8	0	0	0

Grafo PERT con indicación de tiempos y rutas del camino crítico de acuerdo a la planificación inicial

A continuación se muestra el grafo Pert del proyecto, con indicación de las actividades críticas:

Cálculo de los tiempos tempranos y tardíos de los sucesos y de las holguras totales paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):

paso 0 de 38

Figura 2: Grafo Pert con indicación del camino crítico

Caracterización de la duración del proyecto mediante una distribución Normal

A fin de calcular la probabilidad pedida, es necesario caracterizar la distribución Normal de la duración del proyecto. Esto consiste en determinar los valores de sus parámetros: media y desviación típica de la duración del proyecto.

La duración media del proyecto ya la tenemos calculada: 8 periodos

Para determinar la desviación típica debemos obtener en cada rama del camino crítico la suma de las varianzas, y quedarnos con la mayor.

Tabla 7: Varianza de las rutas del camino crítico

	Activities	Variance	Formula
Route_5	D, J, K	0.45	σ²(D) + σ²(J) + σ²(K) = 0.25 + 0.16 + 0.04 = 0.45
Route_6	D, K, L	0.33	σ²(D) + σ²(K) + σ²(L) = 0.25 + 0.04 + 0.04 = 0.33

El proyecto sigue una distribución normal con media 8 periodos y desviación típica 0.67.

Probabilidad de terminar entre 7 y 9 periodos

Una vez caracterizada la distribución normal con la que aproximamos la duración del proyecto, podemos hacer el cálculo de la probabilidad de terminar entre los periodos 7 y 9.
- La probabilidad de terminar antes de 7 periodos es 0.07
- La probabilidad de terminar antes de 9 periodos es 0.93

Por tanto, a partir de la diferencia de estos dos valores tenemos la probabilidad de terminar dentro del mencionado intervalo: 86 por ciento.

Apartado 2

2. Indique cuales serían las actuaciones a llevar a cabo para reducir con mínimo sobrecoste la duración media del proyecto a 6 periodos.
   

Tabla 8: Cuadro del algoritmo de Ackoff Sasieni

paso -1 de 2

Algoritmo de Ackoff-Sasieni: tabla completa. Pulse «siguiente» para ver cómo se construye.

Datos: coste unitario de reducción de cada actividad en las rutas que la contienen, duración inicial de cada ruta (columna 0) y periodos que puede reducirse cada actividad (fila 0).

Iteración 0: rutas críticas Route_5, Route_6 (duración 8); se acorta un periodo la combinación de menor coste: D (coste 20). Resultado: periodos disponibles (fila 1) y duración de las rutas (columna 1); el proyecto dura 7.

Iteración 1: rutas críticas Route_1, Route_5, Route_6, Route_7, Route_8 (duración 7); se acorta un periodo la combinación de menor coste: B, J, L (coste 90). Resultado: periodos disponibles (fila 2) y duración de las rutas (columna 2); el proyecto dura 6. Se alcanzó el número de reducciones pedido.

Las actividades a recortar en cada iteración son:

• Iteración 0: D
  

• Iteración 1: B, J, L
  

Apartado 3

3. Indique cuales serían las actuaciones para poder ejecutar el proyecto con un límite en los recursos de 8 recursos por periodo durante los primeros cuatro periodos, y de 16 recursos por periodo en los siguientes periodos

Para responder este apartado es necesario representar la demanda de recursos a lo largo del tiempo.

Figura 3: Distribución inicial del consumo de recursos

La fila “Total” obtenida, que podemos representar gráficamente en la siguiente figura, proporciona la información del consumo previsto de recursos a lo largo del tiempo.

Figura 4: Diagrama de cargas antes de aplicar el algoritmo de asignación

La demanda de recursos actual infringe el límite impuesto. Es necesario aplicar el algoritmo de asignación.

Algoritmo de asignación

paso 0 de 17

Resultado del algoritmo de asignación con los límites de recursos de la fila «Máximo». En cada periodo, si la demanda supera el límite, se ejecutan primero las actividades ya empezadas, después las de menor holgura total y, a igualdad, las más cortas, mientras la carga acumulada no supere el límite; las demás se posponen un periodo (zz en el diagrama). Pulse «siguiente» para ver cómo se decide periodo a periodo.

Periodo 1: la demanda total (12) supera el máximo (8); hay que decidir qué actividades se ejecutan. Criterio de prioridad: (1) las ya empezadas, que no se interrumpen; (2) menor holgura total H, las más críticas; (3) menor duración d. Orden resultante: 1.º D (carga 4, no empezada, H=0, d=4); 2.º G (carga 4, no empezada, H=1, d=1); 3.º A (carga 4, no empezada, H=1, d=2).

Periodo 1: se recorren las actividades por orden de prioridad acumulando carga. Se ejecutan D, G; se posponen A porque, al añadirlas, la carga acumulada superaría el máximo (8).

Periodo 1: las actividades pospuestas (A) se desplazan un periodo, con las que dependen de ellas; este es el diagrama de partida del siguiente periodo.

Periodo 2: la demanda total (10) supera el máximo (8); hay que decidir qué actividades se ejecutan. Criterio de prioridad: (1) las ya empezadas, que no se interrumpen; (2) menor holgura total H, las más críticas; (3) menor duración d. Orden resultante: 1.º D (carga 4, ya empezada, H=0, d=4); 2.º A (carga 4, no empezada, H=0, d=2); 3.º H (carga 2, no empezada, H=1, d=4).

Periodo 2: se recorren las actividades por orden de prioridad acumulando carga. Se ejecutan D, A; se posponen H porque, al añadirlas, la carga acumulada superaría el máximo (8).

Periodo 2: las actividades pospuestas (H) se desplazan un periodo, con las que dependen de ellas; este es el diagrama de partida del siguiente periodo.

Periodo 3: la demanda total (10) supera el máximo (8); hay que decidir qué actividades se ejecutan. Criterio de prioridad: (1) las ya empezadas, que no se interrumpen; (2) menor holgura total H, las más críticas; (3) menor duración d. Orden resultante: 1.º A (carga 4, ya empezada, H=0, d=2); 2.º D (carga 4, ya empezada, H=0, d=4); 3.º H (carga 2, no empezada, H=0, d=4).

Periodo 3: se recorren las actividades por orden de prioridad acumulando carga. Se ejecutan A, D; se posponen H porque, al añadirlas, la carga acumulada superaría el máximo (8).

Periodo 3: las actividades pospuestas (H) se desplazan un periodo, con las que dependen de ellas; este es el diagrama de partida del siguiente periodo.

Periodo 4: la demanda total (11) supera el máximo (8); hay que decidir qué actividades se ejecutan. Criterio de prioridad: (1) las ya empezadas, que no se interrumpen; (2) menor holgura total H, las más críticas; (3) menor duración d. Orden resultante: 1.º D (carga 4, ya empezada, H=1, d=4); 2.º H (carga 2, no empezada, H=0, d=4); 3.º B (carga 2, no empezada, H=1, d=2); 4.º E (carga 3, no empezada, H=3, d=1).

Periodo 4: se recorren las actividades por orden de prioridad acumulando carga. Se ejecutan D, H, B; se posponen E porque, al añadirlas, la carga acumulada superaría el máximo (8).

Periodo 4: las actividades pospuestas (E) se desplazan un periodo, con las que dependen de ellas; este es el diagrama de partida del siguiente periodo.

Periodo 5: la demanda total (12) no supera el máximo (16). Se ejecutan todas las actividades previstas: H, B, K, E, I.

Periodo 6: la demanda total (10) no supera el máximo (16). Se ejecutan todas las actividades previstas: H, K, C, F.

Periodo 7: la demanda total (8) no supera el máximo (16). Se ejecutan todas las actividades previstas: H, C, F.

Periodo 8: la demanda total (5) no supera el máximo (16). Se ejecutan todas las actividades previstas: C, J, L.

Periodo 9: la demanda total (4) no supera el máximo (16). Se ejecutan todas las actividades previstas: J, L.

Figura 5: Diagrama de Gantt del proyecto tras la asignación

Figura 6: Diagrama de cargas tras aplicar el algoritmo de asignación

Apartado 4

4. Calcule el valor del CPI y del SPI para el punto de control de 8 periodos.
   

• Para obtener PV podemos sumar directamente los valores de la columna coste_planificado.
• Para obtener EV, podemos multiplicar la columna coste_planificado por el valor de la columna realizado, divbidir entre 100 y sumar todos los valores.
• Para obtener el valor de AC, podemos sumar directamente los valores de la columna coste real.
• Para calcular CPI utilizamos la definición \(CPI=EV/AC\)
• Para calcular SPI utilizamos la definición \(SPI=EV/PV\)

Con estas consideraciones, los valores resultantes son:

PV = 620.0
AC = 520.0
EV = 402.0
CPI = 0.77
SPI = 0.65