Se pretende construir una planta desalinizadora de agua, con el fin de proporcionar agua potable a ciertas poblaciones en las que escasea. Usted, como encargado de la planificación de la ejecución de este proyecto, decide que la descomposición en tareas y sus precedencias es la que se muestra en la tabla adjunta, donde la duración se expresa en meses.
Tras un detenido análisis del proyecto en cuestión, usted ha llegado a la conclusión de que no es posible que la tarea J empiece nada más terminar la tarea A, sino que es absolutamente necesario que para que se pueda empezar a ejecutar la tarea J debe de haber transcurrido un mes después de terminar la tarea A. Se pide:
Dibujar el diagrama PERT del proyecto y caracteríce su duración mediante una distribución aleatoria Normal.
Como no está conforme con la duración del proyecto que resulta, desea reducir la duración del proyecto en 1 mes con el mínimo incremento de coste posible. ¿Qué tareas deben ser reducidas?.
Debido al racionamiento de combustible diesel que sufre la isla, durante el proyecto sólo será posible disponer de 250 litros de gasoil cada semana; y debido a la falta de previsión de los responsables del proyecto, que no solicitaron permiso para el almacenamiento de combustible, no es posible guardar el sobrante de una semana para consumirlo la siguiente. Por otro lado las necesidades de consumo de gasoil que usted planifica son las que se muestran en la tabla.
¿Se encuentra bien nivelado el consumo de gasoil?.
¿Se encuentra bien asignado?.
Si no es así ¿qué recomienda hacer para asignar correctamente el consumo de combustible?.
¿Qué consecuencias traerá la asignación correcta del combustible en este proyecto en concreto?.
Tabla 1: Cuadro de datos del enunciado del ejercicio
precedentes
duracion
varianza
coste
litros
duracion_tope
actividad
A
---
5
2
600-60t
210
2
B
---
5
1
300-20t
150
2
C
B
1
1
100-30t
50
1
D
B
5
1
300-25t
75
1
E
B
2
1
200-30t
25
1
F
C,D,E
1
1
100-10t
75
1
G
D,E
2
1
200-10t
75
2
H
E
2
1
150-50t
0
1
I
K
4
1
500-50t
100
3
💤J
A
1
0
NaN
0
1
J
💤J
2
1
100-10t
50
1
K
A
3
1
300-10t
50
3
Solución
Apartado 1
Dibujar el diagrama PERT del proyecto y caracteríce su duración mediante una distribución aleatoria Normal.
Cuadro de prelaciones
Comenzamos construyendo el cuadro de prelaciones. Este cuadro nos permitirá construir los grafos Pert o Roy, si atendemos a la información de las filas; o comprobar si el grafo obtenido es correcto, atendiendo a la información de las columnas.
Tabla 2: Cuadro de prelaciones expandido
Grafo PERT con numeración de nodos
paso 0 de 13
Figura 1: Grafo Pert con indicación de los números de nodos
Matriz de Zaderenko
Matriz de Zaderenko paso a paso. El primer paso muestra el resultado final; a partir del siguiente se construye desde el principio (avance con los botones):
Tabla 3: Matriz de Zaderenko para el cálculo de tiempos tempranos y tardíos
paso 0 de 20
Los tiempos tempranos y tardios han resultado ser:
Tabla 4: Valores de los tiempos tempranos y tardíos de los nodos
early
late
1
0
0
2
5
5
3
5
5
4
7
10
5
6
10
6
8
8
7
10
10
8
10
11
9
12
12
La información del nodo final del proyecto nos informa de la duración media del proyecto: 12 periodos
Holgura total de las actividades
A partir de los tiempos tempranos y tardíos, y de las duraciones de las actividades, podemos determinar la holgura total de las actividades y con ellas las rutas del camino crítico.
Tabla 5: Valor de la holgura total de las actividades
H_total
@4→7
3
@7→8
1
A
0
B
0
C
5
D
0
E
3
F
1
G
0
H
3
I
0
J
4
K
0
💤J
4
Camino crítico
El camino crítico consta de las siguientes rutas:
Route_1: A, I, K
Route_5: B, D, G
Calendario del proyecto
Se muestra a continuación el calendario del proyecto, con indicación de las fechas de inicio y fin más tempranas y tardías de cada actividad:
Tabla 6: Calendario del proyecto
Haz clic en un número de la tabla para ver cómo se calcula.
👆 Interactivo: haz clic en cualquier celda de la tabla para ver cómo se calcula (otro clic la deselecciona).
Actividad
Duración
Inicio más temprano
Fin más temprano
Inicio más tardío
Fin más tardío
H total
H libre
H independiente
A
5
0
5
0
5
0
0
0
B
5
0
5
0
5
0
0
0
C
1
5
6
10
11
5
4
4
D
5
5
10
5
10
0
0
0
E
2
5
7
8
10
3
0
0
F
1
10
11
11
12
1
1
0
G
2
10
12
10
12
0
0
0
H
2
7
9
10
12
3
3
0
I
4
8
12
8
12
0
0
0
💤J
1
5
6
9
10
4
0
0
J
2
6
8
10
12
4
4
0
K
3
5
8
5
8
0
0
0
Grafo PERT con indicación de tiempos y rutas del camino crítico de acuerdo a la planificación inicial
A continuación se muestra el grafo Pert del proyecto, con indicación de las actividades críticas:
Cálculo de los tiempos tempranos y tardíos de los sucesos y de las holguras totales paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):
paso 0 de 34
Figura 2: Grafo Pert con indicación del camino crítico
Caracterización de la duración del proyecto mediante una distribución Normal
La caracterización de la distribución Normal consiste en determinar los valores de sus parámetros: media y desviación típica de su duración.
La duración media del proyecto ya la tenemos calculada: 12 periodos
Para determinar la desviación típica debemos obtener en cada rama del camino crítico la suma de las varianzas, y quedarnos con la mayor.
Tabla 7: Varianza de las rutas del camino crítico
Activities
Variance
Formula
Route_1
A, I, K
4.00
σ²(A) + σ²(I) + σ²(K) = 2 + 1 + 1 = 4
Route_5
B, D, G
3.00
σ²(B) + σ²(D) + σ²(G) = 1 + 1 + 1 = 3
El proyecto sigue una distribución normal con media 12 periodos y desviación típica 2.0.
Apartado 2
Como no está conforme con la duración del proyecto que resulta, desea reducir la duración del proyecto en 1 mes con el mínimo incremento de coste posible. ¿Qué tareas deben ser reducidas?.
Para resolver la reducción del proyecto con mínimo coste es necesario obtener el valor del coste unitario de reducción a partir de los datos del enunciado.
coste
actividad
A
600-60t
B
300-20t
C
100-30t
D
300-25t
E
200-30t
F
100-10t
G
200-10t
H
150-50t
I
500-50t
💤J
NaN
J
100-10t
K
300-10t
Para obtener el coste unitario de reducción debemos quedarnos únicamente con el coeficiente que multiplica a la variable duración ‘t’.
actividad
A
B
C
D
E
F
G
H
I
💤J
J
K
cur
60.0
20.0
30.0
25.0
30.0
10.0
10.0
50.0
50.0
NaN
10.0
10.0
Se aborda la solución de este apartado mediante la técnica de reducción de la duración del proyecto con mínimo coste.
Tabla 8: Cuadro del algoritmo de Ackoff Sasieni
paso -1 de 1
ruta \ act.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
💤J
0
1
Route_1
60
50
10
12
11
Route_2
60
10
8
8
Route_3
20
30
10
7
6
Route_4
20
25
10
11
10
Route_5
20
25
10
12
11
Route_6
20
30
10
8
7
Route_7
20
30
10
9
8
Route_8
20
30
50
9
8
0
3
3
0
4
1
0
0
1
1
1
0
0
1
3
2
0
4
1
0
0
1
0
1
0
0
Algoritmo de Ackoff-Sasieni: tabla completa. Pulse «siguiente» para ver cómo se construye.
ruta \ act.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
💤J
0
Route_1
60
50
10
12
Route_2
60
10
8
Route_3
20
30
10
7
Route_4
20
25
10
11
Route_5
20
25
10
12
Route_6
20
30
10
8
Route_7
20
30
10
9
Route_8
20
30
50
9
0
3
3
0
4
1
0
0
1
1
1
0
0
Datos: coste unitario de reducción de cada actividad en las rutas que la contienen, duración inicial de cada ruta (columna 0) y periodos que puede reducirse cada actividad (fila 0).
ruta \ act.
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
💤J
0
1
Route_1
60
50
10
12
11
Route_2
60
10
8
8
Route_3
20
30
10
7
6
Route_4
20
25
10
11
10
Route_5
20
25
10
12
11
Route_6
20
30
10
8
7
Route_7
20
30
10
9
8
Route_8
20
30
50
9
8
0
3
3
0
4
1
0
0
1
1
1
0
0
1
3
2
0
4
1
0
0
1
0
1
0
0
Iteración 0: rutas críticas Route_1, Route_5 (duración 12); se acorta un periodo la combinación de menor coste: B, I (coste 70). Resultado: periodos disponibles (fila 1) y duración de las rutas (columna 1); el proyecto dura 11. Se alcanzó el número de reducciones pedido.
En la Ruta 5 (B-D-G) la actividad más barata es la G pero ya está en su duración tope. La siguiente más barata es la actividad B que dispone de 3 periodos de reducción.
Se propone reducir la B y la I.
Apartado 3.
Debido al racionamiento de combustible diesel que sufre la isla, durante el proyecto sólo será posible disponer de 250 litros de gasoil cada semana; y debido a la falta de previsión de los responsables del proyecto, que no solicitaron permiso para el almacenamiento de combustible, no es posible guardar el sobrante de una semana para consumirlo la siguiente. Por otro lado las necesidades de consumo de gasoil que usted planifica son las que se muestran en la tabla.
¿Se encuentra bien nivelado el consumo de gasoil?.
¿Se encuentra bien asignado?.
Si no es así ¿qué recomienda hacer para asignar correctamente el consumo de combustible?.
¿Qué consecuencias traerá la asignación correcta del combustible en este proyecto en concreto?.
Consideramos el coste mensual cuatro veces el semanal:
Tabla 9: Cuadro de coste mensual del combustible
actividad
A
B
C
D
E
F
G
H
I
💤J
J
K
litros_por_mes
840
600
200
300
100
300
300
0
400
0
200
200
De acuerdo con la planificación inicial, el consumo de combustible resulta ser:
Figura 3: Distribución inicial del consumo de recursos
La zona rayada antes de J representa la espera de 1 periodo mencionada en el enunciado.
La fila “Total” obtenida, que podemos representar gráficamente en la siguiente figura, proporciona la información del consumo previsto de recursos a lo largo del tiempo.
Figura 4: Diagrama de cargas antes de aplicar el algoritmo de asignación
La demanda del recurso no se encuentra nivelada. Además, con el máximo disponible de 1000 litros por mes el proyecto no es ejecutable en su estado actual y debe aplicarse el algoritmo de asignación.
Algoritmo de asignación
Durante los primeros seis periodos no es viable ejecutar A y B. Como ambas son críticas y de misma duración resulta indiferente desplazar una u otra pues en ambos casos esta acción conlleva un retraso del proyecto. Resolvemos el ejercicio desplazando la actividad B.
paso 0 de 24
Resultado del algoritmo de asignación con los límites de recursos de la fila «Máximo». En cada periodo, si la demanda supera el límite, se ejecutan primero las actividades ya empezadas, después las de menor holgura total y, a igualdad, las más cortas, mientras la carga acumulada no supere el límite; las demás se posponen un periodo (zz en el diagrama). Pulse «siguiente» para ver cómo se decide periodo a periodo.
Periodo 1: la demanda total (1440) supera el máximo (1000); hay que decidir qué actividades se ejecutan. Criterio de prioridad: (1) las ya empezadas, que no se interrumpen; (2) menor holgura total H, las más críticas; (3) menor duración d. Orden resultante: 1.º A (carga 840, no empezada, H=0, d=5); 2.º B (carga 600, no empezada, H=0, d=5).
Periodo 1: se recorren las actividades por orden de prioridad acumulando carga. Se ejecutan A; se posponen B porque, al añadirlas, la carga acumulada superaría el máximo (1000).
Periodo 1: las actividades pospuestas (B) se desplazan un periodo, con las que dependen de ellas; este es el diagrama de partida del siguiente periodo.
Periodo 2: la demanda total (1440) supera el máximo (1000); hay que decidir qué actividades se ejecutan. Criterio de prioridad: (1) las ya empezadas, que no se interrumpen; (2) menor holgura total H, las más críticas; (3) menor duración d. Orden resultante: 1.º A (carga 840, ya empezada, H=1, d=5); 2.º B (carga 600, no empezada, H=0, d=5).
Periodo 2: se recorren las actividades por orden de prioridad acumulando carga. Se ejecutan A; se posponen B porque, al añadirlas, la carga acumulada superaría el máximo (1000).
Periodo 2: las actividades pospuestas (B) se desplazan un periodo, con las que dependen de ellas; este es el diagrama de partida del siguiente periodo.
Periodo 3: la demanda total (1440) supera el máximo (1000); hay que decidir qué actividades se ejecutan. Criterio de prioridad: (1) las ya empezadas, que no se interrumpen; (2) menor holgura total H, las más críticas; (3) menor duración d. Orden resultante: 1.º A (carga 840, ya empezada, H=2, d=5); 2.º B (carga 600, no empezada, H=0, d=5).
Periodo 3: se recorren las actividades por orden de prioridad acumulando carga. Se ejecutan A; se posponen B porque, al añadirlas, la carga acumulada superaría el máximo (1000).
Periodo 3: las actividades pospuestas (B) se desplazan un periodo, con las que dependen de ellas; este es el diagrama de partida del siguiente periodo.
Periodo 4: la demanda total (1440) supera el máximo (1000); hay que decidir qué actividades se ejecutan. Criterio de prioridad: (1) las ya empezadas, que no se interrumpen; (2) menor holgura total H, las más críticas; (3) menor duración d. Orden resultante: 1.º A (carga 840, ya empezada, H=3, d=5); 2.º B (carga 600, no empezada, H=0, d=5).
Periodo 4: se recorren las actividades por orden de prioridad acumulando carga. Se ejecutan A; se posponen B porque, al añadirlas, la carga acumulada superaría el máximo (1000).
Periodo 4: las actividades pospuestas (B) se desplazan un periodo, con las que dependen de ellas; este es el diagrama de partida del siguiente periodo.
Periodo 5: la demanda total (1440) supera el máximo (1000); hay que decidir qué actividades se ejecutan. Criterio de prioridad: (1) las ya empezadas, que no se interrumpen; (2) menor holgura total H, las más críticas; (3) menor duración d. Orden resultante: 1.º A (carga 840, ya empezada, H=4, d=5); 2.º B (carga 600, no empezada, H=0, d=5).
Periodo 5: se recorren las actividades por orden de prioridad acumulando carga. Se ejecutan A; se posponen B porque, al añadirlas, la carga acumulada superaría el máximo (1000).
Periodo 5: las actividades pospuestas (B) se desplazan un periodo, con las que dependen de ellas; este es el diagrama de partida del siguiente periodo.
Periodo 6: la demanda total (800) no supera el máximo (1000). Se ejecutan todas las actividades previstas: B, K, 💤J.
Periodos 7 a 8: la demanda (1000, 1000) no supera el máximo en ninguno (1000, 1000), con las mismas actividades (B, K, J); se ejecutan todas y no hay nada que decidir.
Periodos 9 a 10: la demanda (1000, 1000) no supera el máximo en ninguno (1000, 1000), con las mismas actividades (B, I); se ejecutan todas y no hay nada que decidir.
Periodo 11: la demanda total (1000) no supera el máximo (1000). Se ejecutan todas las actividades previstas: I, D, E, C.
Periodo 12: la demanda total (800) no supera el máximo (1000). Se ejecutan todas las actividades previstas: D, E, I.
Periodos 13 a 14: la demanda (300, 300) no supera el máximo en ninguno (1000, 1000), con las mismas actividades (D, H); se ejecutan todas y no hay nada que decidir.
Periodo 15: la demanda total (300) no supera el máximo (1000). Se ejecutan todas las actividades previstas: D.
Periodo 16: la demanda total (600) no supera el máximo (1000). Se ejecutan todas las actividades previstas: G, F.
Periodo 17: la demanda total (300) no supera el máximo (1000). Se ejecutan todas las actividades previstas: G.
Figura 5: Diagrama de Gantt del proyecto una vez aplicado el algoritmo de asignación
La zona rayada representa el desplazamiento de la tarea B.
Figura 6: Diagrama de cargas tras aplicar el algoritmo de asignación
Con esta única acción la demanda de recursos del proyecto ya no supera las 1000 unidades que nos ponía de límite en el enunciado. La duración no obstante ha subido a 17 meses y el camino crítico ha cambiado.
Cálculo de los tiempos tempranos y tardíos de los sucesos y de las holguras totales paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):
paso 0 de 37
Route_5: B, D, G, 💤B
Este resultado cumple los requerimientos expresados en el enunciado. No obstante, resultará sorprendente que la actividad 💤B sea crítica al inicio del proyecto cuando representa una espera, mientras la actividad A dispone de holgura total 5 5 y no es crítica. Realmente, al imponer el enunciado en este apartado un límite máximo de recursos que impide que A y B puedan ejecutarse simultaneamente, ha sido equivalente a añadir una restricción de prelación entre A y B que obliga que B se ejecute después de A; y por tanto A podría considerarse crítica en esa nueva configuración.
Podría abundarse más en otras posibles consideraciones y alternativas de solución pero éstas escapan del alcance de la aplicación estricta del método de asignación de Wiest-Levy básico explicado en el curso.
