Ejercicio 05

Enunciado

Considere el proyecto cuya información se adjunta.

Dibuje el diagrama Pert y determine el camino crítico.

Indique el coste de realización para duración PERT

A la vista de la planificación dada, su jefe le dice que el proyeco tiene que ejecutarse en 12 o menos periodos. ¿Con qué probabilidad estima que se verán cumplidos los deseos de su jefe?

Reduzca la duración del proyecto dos unidades de tiempo con el menor incremento de coste posible.

	predecessors	b	m	a	cost_pert_duration	cost_cap_duration	cap_duration
activity
A	---	6	2.50	2	1600	1800	2
B	---	2	2.00	2	2900	2900	1
C	---	1	1.00	1	600	600	1
D	---	1	1.00	1	600	600	1
E	A,B	12	5.00	4	1600	2200	2
F	A,B	12	2.50	2	2000	2200	1
G	B,C	6	1.25	1	600	700	1
H	B,C	20	13.00	6	3500	4900	3
I	D	30	12.00	6	3500	4300	4
J	E,M	4	4.00	4	1500	1500	2
K	F	7	7.00	7	2000	2000	3
L	J,K,G	1	1.00	1	1000	1000	1
M	F	3	3.00	3	500	500	1

Solución

Apartado 1

Dibuje el diagrama Pert y determine el camino crítico.

Cuadro de prelaciones expandido

Comenzamos construyendo el cuadro de prelaciones. Este cuadro nos permitirá construir los grafos Pert o Roy, si atendemos a la información de las filas; o comprobar si el grafo obtenido es correcto, atendiendo a la información de las columnas.

Tabla 1: Cuadro de prelaciones expandido

	A	B	C	D	E	F	G	J	K	M
activities
A
B
C
D
E	True	True
F	True	True
G		True	True
H		True	True
I				True
J					True					True
K						True
L							True	True	True
M						True

Precálculo de variables de interés

A partir de los datos del enunciado podemos calcular la duración media, la desviación típica y el coste unitario de reducción que utilizaremos para contestar las preguntas realizadas.

\(\displaystyle duration=\frac{a+4m+b}{6}\)

\(\displaystyle standard ~ deviation=\frac{b-a}{6}\)

\(\displaystyle ucr=\frac{C_{cap}-C_{pert}}{d_{cap}-d_{pert}}\)

Tabla 2: Duración y desviación típica de las actividades calculadas

	b	m	a	duration	standard_deviation	ucr
activity
A	6	2.50	2	3.0	0.67	200.00
B	2	2.00	2	2.0	0.00	0.00
C	1	1.00	1	1.0	0.00	NaN
D	1	1.00	1	1.0	0.00	NaN
E	12	5.00	4	6.0	1.33	150.00
F	12	2.50	2	4.0	1.67	66.67
G	6	1.25	1	2.0	0.83	100.00
H	20	13.00	6	13.0	2.33	140.00
I	30	12.00	6	14.0	4.00	80.00
J	4	4.00	4	4.0	0.00	0.00
K	7	7.00	7	7.0	0.00	0.00
L	1	1.00	1	1.0	0.00	NaN
M	3	3.00	3	3.0	0.00	0.00

Grafo PERT con numeración de nodos

Utilizando el cuadro de prelaciones expandido podemos dibujar el grafo Pert correspondiente al proyecto.

Figura 1: Grafo Pert con indicación con indicación de los números de nodos

Alternativamente podríamos haber representado su grafo Roy.

Matriz de Zaderenko

A continuación podemos determinar la duración del proyecto calculando los tiempos tempranos y tardíos de su grafo Pert. Se hace en este caso mediante el algoritmo de Zaderenko:

Tabla 3: Matriz de Zaderenko para el cálculo de tiempos tempranos y tardíos

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	early
1		2.0	1.0	1.0	3.0					0.0
2				0.0	0.0					2.0
3									14.0	1.0
4								2.0	13.0	2.0
5						4.0	6.0			3.0
6							3.0	7.0		7.0
7								4.0		10.0
8									1.0	14.0
9										15.0
late	0.0	2.0	1.0	2.0	3.0	7.0	10.0	14.0	15.0

Los tiempos tempranos y tardíos obtenidos para cada nodo son:

	early	late
1	0	0
2	2	2
3	1	1
4	2	2
5	3	3
6	7	7
7	10	10
8	14	14
9	15	15

Duración media del proyecto

De acuerdo a la duración obtenida para el nodo final del proyecto, la duración media del proyecto es 15 periodos.

Calendario del proyecto

Las fechas de inicio y fin más tempranas y tardías de cada actividad son:

Tabla 4: Calendario del proyecto

	inicio_mas_temprano	inicio_mas_tardio	fin_mas_temprano	fin_mas_tardio	H_total	duracion
activity
A	0	0	3	3	0	3.0
B	0	0	2	2	0	2.0
C	0	1	1	2	1	1.0
D	0	0	1	1	0	1.0
E	3	4	9	10	1	6.0
F	3	3	7	7	0	4.0
G	2	12	4	14	10	2.0
H	2	2	15	15	0	13.0
I	1	1	15	15	0	14.0
J	10	10	14	14	0	4.0
K	7	7	14	14	0	7.0
L	14	14	15	15	0	1.0
M	7	7	10	10	0	3.0

Holgura total de las actividades

De acuerdo a los cálculos realizados, la holgura total de las actividades es:

Tabla 5: Holgura total de las actividades

	H_total
@∇B⤑ΔF	1
@∇B⤑ΔG	0
A	0
B	0
C	1
D	0
E	1
F	0
G	10
H	0
I	0
J	0
K	0
L	0
M	0

Camino crítico

Las actividades con holgura total cero forman el camino crítico. Según el grafo Pert del proyecto, éste está compuesto por las siguientes rutas, cuyas actividades se listan en orden alfabético:

Route_2 : A, F, K, L

Route_3 : A, F, J, L, M

Route_8 : B, H

Route_11 : D, I

Grafo PERT con indicación de tiempos y camino crítico

Figura 3: Grafo Pert del proyecto con indicación del camino crítico

Alternativamente, se muestra el grafo roy correspondiente con indicación del camino crítico.

Figura 4: Grafo Roy del proyecto con indicación del camino crítico

Apartado 2

Indique el coste de realización para duración PERT

Para responder este apartado tan sólo es necesario sumar los costes indicados en la columna coste_duracion_pert.

La suma de los costes es 21900

Apartado 3

A la vista de la planificación dada, su jefe le dice que el proyeco tiene que ejecutarse en 12 o menos periodos. ¿Con qué probabilidad estima que se verán cumplidos los deseos de su jefe?

Duración media del proyecto

La duración media del proyecto ya la tenemos calculada:

La media de la duración del proyecto es 15

Varianza de la duración del proyecto

Se calcula entonces la varianza de cada una de las rutas del camino crítico como suma de las varianzas de las actividades que lo componen. Se indica en color la ruta con máxima varianza, que determina la varianza del proyecto.

Tabla 6: Varianza de las rutas del camino crítico

	Activities	Variance
Route_2	A, F, K, L	3.24
Route_3	A, F, J, L, M	3.24
Route_8	B, H	5.43
Route_11	D, I	16.00

La desviación típica de la duración del proyecto es la raiz cuadrada de su varianza. En este caso la desviación típica tiene valor 4.0

Cálculo de la probabilidad

Una vez caracterizada la distribución normal con la que aproximamos la duración del proyecto, podemos hacer el cálculo de la probabilidad:

La probabilidad pedida es 22.66 por ciento.

Apartado 4.

Reduzca la duración del proyecto dos unidades de tiempo con el menor incremento de coste posible.

Se aborda la solución de este apartado mediante la técnica de reducción de la duración del proyecto con mínimo coste.

Tabla 7: Cuadro del algoritmo de Ackoff Sasieni

	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K	L	M	0	1	2
Route_1	200.0				150.0					0.0				14.0	13.0	12.0
Route_2	200.0					66.7					0.0			15.0	14.0	13.0
Route_3	200.0					66.7				0.0			0.0	15.0	14.0	13.0
Route_4		0.0			150.0					0.0				13.0	11.0	10.0
Route_5		0.0				66.7					0.0			14.0	12.0	11.0
Route_6		0.0				66.7				0.0			0.0	14.0	12.0	11.0
Route_7		0.0					100.0							5.0	4.0	4.0
Route_8		0.0						140.0						15.0	14.0	13.0
Route_9							100.0							4.0	4.0	4.0
Route_10								140.0						14.0	14.0	13.0
Route_11									80.0					15.0	14.0	13.0
0	1.0	1.0	0.0	0.0	4.0	3.0	1.0	10.0	10.0	2.0	4.0	0.0	2.0
1	1.0	0.0	0.0	0.0	4.0	3.0	1.0	10.0	9.0	1.0	3.0	0.0	2.0
2	1.0	0.0	0.0	0.0	4.0	3.0	1.0	9.0	8.0	0.0	2.0	0.0	2.0

Las actividades reducidas en cada una de las iteraciones son:

Iteración 0: K, I, B, J

Iteración 1: K, I, H, J