Ejercicio 04

Enunciado

Considere la información del proyecto cuya información aparece en la tabla adjunta:

1. ¿Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto antes de 9 periodos?
   

2. Indique las actuaciones a llevar a cabo para reducir la duración del proyecto hasta 10 periodos con mínimo sobrecoste.
   

3. Nivele los recursos del proyecto.
   

	predecessor	duration	standard_deviation	ucr	resources	cap_duration
activity
A	---	3	2	5	1	1
B	---	2	1	5	1	1
C	B	4	2	25	1	2
D	A	4	0	1	1	1
E	A	2	1	-10	2	1
F	C,D	5	3	1	1	2
G	C,D	1	0	-20	2	1
H	E	3	1	5	1	2
I	F,G	1	0	5	2	1
J	F,G	2	0	-1	1	1
K	F,G,H	1	0	1	1	1

Solución

Apartado 1

1. ¿Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto antes de 9 periodos?
   

Cuadro de prelaciones expandido

Comenzamos construyendo el cuadro de prelaciones. Este cuadro nos permitirá construir los grafos Pert o Roy, si atendemos a la información de las filas; o comprobar si el grafo obtenido es correcto, atendiendo a la información de las columnas.

Tabla 1: Cuadro de prelaciones expandido

Grafo PERT con numeración de nodos

Utilizando el cuadro de prelaciones expandido podemos dibujar el grafo Pert correspondiente al proyecto.

paso 0 de 12

Figura 1: Grafo Pert con indicación con indicación de los números de nodos

Alternativamente podríamos haber representado su grafo Roy.

paso 0 de 12

Figura 2: Grafo Roy del proyecto

Matriz de Zaderenko

A continuación podemos determinar la duración del proyecto calculando los tiempos tempranos y tardíos de su grafo Pert. Se hace en este caso mediante el algoritmo de Zaderenko:

Matriz de Zaderenko paso a paso. El primer paso muestra el resultado final; a partir del siguiente se construye desde el principio (avance con los botones):

Tabla 2: Matriz de Zaderenko para el cálculo de tiempos tempranos y tardíos

paso 0 de 22

Los tiempos tempranos y tardíos obtenidos para cada nodo son:

Tabla 3: Valores de los tiempos tempranos y tardíos de los nodos

	early	late
1	0	0
2	2	3
3	3	3
4	5	10
5	7	7
6	8	12
7	12	12
8	13	14
9	12	13
10	14	14

Duración media del proyecto

De acuerdo a la duración obtenida para el nodo final del proyecto, la duración media del proyecto es 14 periodos.

Calendario del proyecto

Las fechas de inicio y fin más tempranas y tardías de cada actividad son:

Tabla 4: Calendario del proyecto

Haz clic en un número de la tabla para ver cómo se calcula.

👆 Interactivo: haz clic en cualquier celda de la tabla para ver cómo se calcula (otro clic la deselecciona).

Actividad	Duración	Inicio más temprano	Fin más temprano	Inicio más tardío	Fin más tardío	H total	H libre	H independiente
A	3	0	3	0	3	0	0	0
B	2	0	2	1	3	1	0	0
C	4	2	6	3	7	1	1	0
D	4	3	7	3	7	0	0	0
E	2	3	5	8	10	5	0	0
F	5	7	12	7	12	0	0	0
G	1	7	8	11	12	4	4	4
H	3	5	8	10	13	5	4	0
I	1	12	13	13	14	1	1	1
J	2	12	14	12	14	0	0	0
K	1	12	13	13	14	1	1	0

Varianza de la duración del proyecto

Para determinar la varianza del proyecto es necesario conocer la varianza de cada una de las rutas del camino crítico. Es necesario, por tanto, conocer cuales son las actividades con holgura total cero.

Holgura total de las actividades

Del cálculo de las holguras totales obtenemos:

Tabla 5: Holgura total de las actividades

	H_total
@6→7	4
@7→9	1
@8→10	1
A	0
B	1
C	1
D	0
E	5
F	0
G	4
H	5
I	1
J	0
K	1

Camino crítico

Las actividades con holgura total cero forman el camino crítico. Según el grafo Pert del proyecto, éste está compuesto por las siguientes rutas, cuyas actividades se listan en orden alfabético:

Route_2: A, D, F, J

Grafo PERT con indicación del camino crítico

Cálculo de los tiempos tempranos y tardíos de los sucesos y de las holguras totales paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):

paso 0 de 36

Figura 3: Grafo Pert del proyecto con indicación del camino crítico

Alternativamente, se muestra el grafo roy correspondiente con indicación del camino crítico.

Cálculo de los tiempos mínimos y máximos de los nodos del grafo Roy paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):

paso 0 de 28

Figura 4: Grafo Roy del proyecto con indicación del camino crítico

Varianza de cada rama

Se calcula entonces la varianza de cada una de las rutas del camino crítico como suma de las varianzas de las actividades que lo componen.

El enunciado nos aporta la desviación típica, la varianza se calcula elevando al cuadrado.

Tabla 6: Varianza de las rutas del camino crítico

	Activities	Variance	Formula
Route_2	A, D, F, J	13.00	σ²(A) + σ²(D) + σ²(F) + σ²(J) = 4 + 0 + 9 + 0 = 13

La varianza de la duración del proyecto es la máxima varianza de las rutas críticas. Para este proyecto es 13.0.
Habitualmente será útil calcular su raiz cuadrada, la desviación típica, para ser utilizada como parámetro de la ley de distribución normal.

La desviación típica es 3.61

Probabilidad de terminar antes de 9 periodos

Para un proyecto con duración media 14 y desviación típica 3.61 el valor de la probabilidad de terminar antes de 9 periodos es 8.0 por ciento.

Apartado 2

2. Indique las actuaciones a llevar a cabo para reducir la duración del proyecto hasta 10 periodos con mínimo sobrecoste.
   

Tabla 7: Cuadro del algoritmo de Ackoff Sasieni

paso -1 de 4

Algoritmo de Ackoff-Sasieni: tabla completa. Pulse «siguiente» para ver cómo se construye.

Datos: coste unitario de reducción de cada actividad en las rutas que la contienen, duración inicial de cada ruta (columna 0) y periodos que puede reducirse cada actividad (fila 0).

Iteración 0: rutas críticas Route_2 (duración 14); se acorta un periodo la combinación de menor coste: J (coste -1). Resultado: periodos disponibles (fila 1) y duración de las rutas (columna 1); el proyecto dura 13.

Iteración 1: rutas críticas Route_1, Route_2, Route_3 (duración 13); se acorta un periodo la combinación de menor coste: D (coste 1). Resultado: periodos disponibles (fila 2) y duración de las rutas (columna 2); el proyecto dura 12.

Iteración 2: rutas críticas Route_1, Route_2, Route_3, Route_8, Route_9, Route_10 (duración 12); se acorta un periodo la combinación de menor coste: F (coste 1). Resultado: periodos disponibles (fila 3) y duración de las rutas (columna 3); el proyecto dura 11.

Iteración 3: rutas críticas Route_1, Route_2, Route_3, Route_8, Route_9, Route_10 (duración 11); se acorta un periodo la combinación de menor coste: F (coste 1). Resultado: periodos disponibles (fila 4) y duración de las rutas (columna 4); el proyecto dura 10. Se alcanzó el número de reducciones pedido.

• Iteración 0: J
  

• Iteración 1: D
  

• Iteración 2: F
  

• Iteración 3: F
  

Tras esta reducción ya se ha alcanzado el objetivo de 10 periodos de duración. Se muestra la representación Pert y Roy del proyecto con las nuevas duración y la indicación de los caminos críticos.

Cálculo de los tiempos tempranos y tardíos de los sucesos y de las holguras totales paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):

paso 0 de 36

Cálculo de los tiempos mínimos y máximos de los nodos del grafo Roy paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):

paso 0 de 28

Apartado 3

3. Nivele los recursos del proyecto.
   

Análisis de la situación inicial

Para responder este apartado es necesario representar la demanda de recursos a lo largo del tiempo.

Suma de cuadrados: 94 

Figura 5: Diagrama de Gantt del proyecto antes de la nivelación

Figura 6: Diagrama de cargas del proyecto antes de la nivelación

La demanda de recursos actual no se encuentra nivelada. Se procede a aplicar el algoritmo de nivelación.

Orden de desplazamientos

Se aplican las siguientes reglas:
- Se desplazan primero aquellas no críticas aun no desplazadas con su final más temprano más próximo al principio del proyecto.
- En caso de empate se preferirá mover primero la de mayor holgura.
- De persistir el empate se moverá la de menor duración.
- Descartamos del análisis las actividades f1 y f2 por no consumir recursos.
- En caso de persistir el empate, resulta indiferente una u otra.

paso 0 de 26

Nivelación por mínimos cuadrados: solución. Cuadro de la suma de cuadrados de las cargas de cada actividad (entre paréntesis, su holgura total) para cada desplazamiento, con el mínimo resaltado, y diagrama de Gantt con cargas resultante. Orden seguido: actividades no críticas por fin más temprano creciente (a igualdad, la de mayor holgura primero), B, E, C, H, G, I, K; cada desplazamiento elegido queda fijado antes de estudiar la siguiente. Pulse «siguiente» para ver cómo se obtiene.

Actividad B (holgura 1): desplazada 0 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 94.

Actividad B (holgura 1): desplazada 1 periodo, la suma de cuadrados de las cargas es 96.

Actividad B: se elige el desplazamiento 0 (suma de cuadrados mínima, 94); queda aplicado para las siguientes actividades.

Actividad E (holgura 5): desplazada 0 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 94.

Actividad E (holgura 5): desplazada 1 periodo, la suma de cuadrados de las cargas es 92.

Actividad E (holgura 5): desplazada 2 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 88.

Actividad E (holgura 5): desplazada 3 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 88.

Actividad E (holgura 5): desplazada 4 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 88.

Actividad E (holgura 5): desplazada 5 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 80.

Actividad E: se elige el desplazamiento 5 (suma de cuadrados mínima, 80); queda aplicado para las siguientes actividades.

Actividad C (holgura 1): desplazada 0 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 80.

Actividad C (holgura 1): desplazada 1 periodo, la suma de cuadrados de las cargas es 80.

Actividad C: se elige el desplazamiento 0 (suma de cuadrados mínima, 80); queda aplicado para las siguientes actividades.

Actividad H (holgura 0): desplazada 0 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 80.

Actividad H: se elige el desplazamiento 0 (suma de cuadrados mínima, 80); queda aplicado para las siguientes actividades.

Actividad G (holgura 4): desplazada 0 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 80.

Actividad G (holgura 4): desplazada 1 periodo, la suma de cuadrados de las cargas es 88.

Actividad G (holgura 4): desplazada 2 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 88.

Actividad G (holgura 4): desplazada 3 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 84.

Actividad G (holgura 4): desplazada 4 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 84.

Actividad G: se elige el desplazamiento 0 (suma de cuadrados mínima, 80); queda aplicado para las siguientes actividades.

Actividad I (holgura 1): desplazada 0 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 80.

Actividad I (holgura 1): desplazada 1 periodo, la suma de cuadrados de las cargas es 80.

Actividad I: se elige el desplazamiento 0 (suma de cuadrados mínima, 80); queda aplicado para las siguientes actividades.

Actividad K (holgura 0): desplazada 0 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 80.

Actividad K: se elige el desplazamiento 0 (suma de cuadrados mínima, 80); queda aplicado para las siguientes actividades.

El visor anterior recoge, para cada actividad no crítica, la suma de los cuadrados del consumo de los recursos en cada uno de los posibles desplazamientos. El orden seguido ha sido el de las actividades no críticas en orden creciente de periodo de finalización (a igualdad, primero la de mayor holgura): cada actividad se desplaza a la posición que minimiza la suma de cuadrados, y ese desplazamiento queda fijado antes de estudiar la siguiente. Se señala en verde el desplazamiento que en cada caso minimiza la suma de cuadrados.

Atendiendo a los valores de las sumas de cuadrados, los desplazamientos indicados para la nivelación son:

Tabla 8: Desplazamientos para la nivelación

	desplazamientos
B	0
E	5
C	0
H	0
G	0
I	0
K	0

La planificación del proyecto nivelado se muestra en el siguiente diagrama de Gantt.

Figura 7: Diagrama de Gantt del proyecto tras la nivelación

Figura 8: Diagrama de cargas del proyecto tras la nivelación