Considere la información del proyecto cuya información aparece en la tabla adjunta:
¿Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto entre 17 y 19 semanas?
Como la probabilidad antes calculada le parece baja, reduzca, con mínimo coste la duración media del proyecto a 18 semanas. ¿Cuál será ahora la probabilidad de terminar en 18 semanas? ¿Por qué?
Partiendo del proyecto en su situación inicial del apartado 1 ¿Se encuentran nivelados los recursos consumidos? De no ser así proceda a su nivelación.
Partiendo del proyecto en su situación inicial del apartado 1, modifique la planificación del proyecto para poder ejecutarlo con tan sólo 4 recursos como máximo durante los primeros tres periodos, y 8 recursos durante el resto del proyecto.
predecessor
duration
variance
ucr
resources
cap_duration
activity
A
---
2
1
-100.0
2
1
B
---
4
1
30.0
2
2
C
B
1
1
inf
2
1
D
A
3
1
50.0
2
1
E
B,D
7
1
20.0
2
4
F
B,C,D
4
1
10.0
1
2
G
---
1
2
100.0
4
1
H
G
11
2
10.0
2
8
I
E,F,H
2
1
50.0
2
1
J
E,F,H
8
1
5.0
2
7
Solución
Apartado 1
¿Cuál es la probabilidad de terminar el proyecto entre 17 y 19 semanas?
Cuadros de prelaciones expandido
Comenzamos construyendo el cuadro de prelaciones. Este cuadro nos permitirá construir los grafos Pert o Roy, si atendemos a la información de las filas; o comprobar si el grafo obtenido es correcto, atendiendo a la información de las columnas.
Tabla 1: Cuadro de prelaciones expandido
Grafo PERT con numeración de nodos
Utilizando el cuadro de prelaciones expandido podemos dibujar el grafo Pert correspondiente al proyecto.
paso 0 de 10
Figura 1: Grafo Pert con indicación con indicación de los números de nodos
Alternativamente podríamos haber representado su grafo Roy.
paso 0 de 10
Figura 2: Grafo Roy del proyecto
Matriz de Zaderenko
A continuación podemos determinar la duración del proyecto calculando los tiempos tempranos y tardíos de su grafo Pert. Se hace en este caso mediante el algoritmo de Zaderenko:
Matriz de Zaderenko paso a paso. El primer paso muestra el resultado final; a partir del siguiente se construye desde el principio (avance con los botones):
Tabla 2: Matriz de Zaderenko para el cálculo de tiempos tempranos y tardíos
paso 0 de 20
Los tiempos tempranos y tardíos obtenidos para cada nodo son:
Tabla 3: Valores de los tiempos tempranos y tardíos de los nodos
early
late
1
0
0
2
1
1
3
4
5
4
2
2
5
5
5
6
5
8
7
12
12
8
14
20
9
20
20
Duración media del proyecto
De acuerdo a la duración obtenida para el nodo final del proyecto, la duración media del proyecto es 20 periodos.
Calendario del proyecto
Las fechas de inicio y fin más tempranas y tardías de cada actividad son:
Tabla 4: Calendario del proyecto
Haz clic en un número de la tabla para ver cómo se calcula.
👆 Interactivo: haz clic en cualquier celda de la tabla para ver cómo se calcula (otro clic la deselecciona).
Actividad
Duración
Inicio más temprano
Fin más temprano
Inicio más tardío
Fin más tardío
H total
H libre
H independiente
A
2
0
2
0
2
0
0
0
B
4
0
4
1
5
1
0
0
C
1
4
5
7
8
3
0
0
D
3
2
5
2
5
0
0
0
E
7
5
12
5
12
0
0
0
F
4
5
9
8
12
3
3
0
G
1
0
1
0
1
0
0
0
H
11
1
12
1
12
0
0
0
I
2
12
14
18
20
6
6
6
J
8
12
20
12
20
0
0
0
Varianza de la duración del proyecto
Para determinar la varianza del proyecto es necesario conocer la varianza de cada una de las rutas del camino crítico. Es necesario, por tanto, conocer cuales son las actividades con holgura total cero.
Holgura total de las actividades
Del cálculo de las holguras totales obtenemos:
Tabla 5: Holgura total de las actividades
H_total
@3→5
1
@5→6
3
@8→9
6
A
0
B
1
C
3
D
0
E
0
F
3
G
0
H
0
I
6
J
0
Camino crítico
Las actividades con holgura total cero forman el camino crítico. Según el grafo Pert del proyecto, éste está compuesto por las siguientes rutas, cuyas actividades se listan en orden alfabético:
Route_2 : A, D, E, J
Route_12 : G, H, J
Grafo PERT con indicación del camino crítico
Cálculo de los tiempos tempranos y tardíos de los sucesos y de las holguras totales paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):
paso 0 de 33
Alternativamente, se muestra el grafo roy correspondiente con indicación del camino crítico.
Cálculo de los tiempos mínimos y máximos de los nodos del grafo Roy paso a paso. El primer paso muestra el grafo resuelto; a partir del siguiente se calcula desde el principio (avance con los botones):
paso 0 de 26
Varianza de cada rama
Se calcula entonces la varianza de cada una de las rutas del camino crítico como suma de las varianzas de las actividades que lo componen.
Tabla 6: Varianza de las rutas del camino crítico
Activities
Variance
Formula
Route_2
A, D, E, J
4.00
σ²(A) + σ²(D) + σ²(E) + σ²(J) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
Route_12
G, H, J
5.00
σ²(G) + σ²(H) + σ²(J) = 2 + 2 + 1 = 5
La varianza de la duración del proyecto es la máxima varianza de las rutas críticas. Para este proyecto es 5.0.
Habitualmente será útil calcular su raiz cuadrada, la desviación típica, para ser utilizada como parámetro de la ley de distribución normal.
La desviación típica es 2.24
Probabilidad de terminar en el periodo solicitado
Para un proyecto con duración media 20 y desviación típica 2.24 el valor de la probabilidad de terminar en el periodo comprendido entre 17 y 19 periodos es 24.0 por ciento.
Apartado 2
Como la probabilidad antes calculada le parece baja, reduzca, con mínimo coste la duración media del proyecto a 18 semanas. ¿Cuál será ahora la probabilidad de terminar en 18 semanas? ¿Por qué?
Reducción de la duración del proyecto con mínimo coste
Tabla 7: Cálculo de la reducción de la duración del proyecto mediante el algoritmo de Ackoff Sasieni
paso -1 de 2
Algoritmo de Ackoff-Sasieni: tabla completa. Pulse «siguiente» para ver cómo se construye.
Datos: coste unitario de reducción de cada actividad en las rutas que la contienen, duración inicial de cada ruta (columna 0) y periodos que puede reducirse cada actividad (fila 0).
Iteración 0: rutas críticas Route_2, Route_12 (duración 20); se acorta un periodo la combinación de menor coste: A, J (coste -95). Resultado: periodos disponibles (fila 1) y duración de las rutas (columna 1); el proyecto dura 19.
Iteración 1: rutas críticas Route_12 (duración 19); se acorta un periodo la combinación de menor coste: H (coste 10). Resultado: periodos disponibles (fila 2) y duración de las rutas (columna 2); el proyecto dura 18. Se alcanzó el número de reducciones pedido.
Los desplazamientos indicados al aplicar el algoritmo de reducción con mínimo coste son:
Iteración 0: A, J
Iteración 1: H
Probabilidad de terminar antes de 18 periodos
Al ser 18 el valor de la media de la duración, la probabilidad pedida es del 50%.
Probabilidad de terminar entre 19 y 17 semanas
Duración media del proyecto
Nótese como al haber reducido la duración del proyecto, la duración media a utilizar en el cálculo de la probabilidad es la nueva duración recortada de 18 periodos.
Varianza de la duración del proyecto
Al proyecto le ha surgido una nueva rama. Debemos calcular la varianza de esta nueva rama y actualizar el valor de la varianza del proyecto si fuera menor que la de esta rama.
Tabla 8: Varianza de las rutas del camino crítico
Activities
Variance
Formula
Route_2
A, D, E, J
4.00
σ²(A) + σ²(D) + σ²(E) + σ²(J) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4
Route_8
B, E, J
3.00
σ²(B) + σ²(E) + σ²(J) = 1 + 1 + 1 = 3
Route_12
G, H, J
5.00
σ²(G) + σ²(H) + σ²(J) = 2 + 2 + 1 = 5
La varianza de la duración del proyecto es la máxima varianza de las rutas críticas. Para este proyecto es 5.0.
Habitualmente será útil calcular su raiz cuadrada, la desviación típica, para ser utilizada como parámetro de la ley de distribución normal.
La desviación típica es 2.24
Probabilidad de terminar en el periodo solicitado
Para un proyecto con duración media 18 y desviación típica 2.24 el valor de la probabilidad de terminar en el periodo comprendido entre 17 y 19 periodos es 34.53 por ciento.
Apartado 3
Partiendo del proyecto en su situación inicial del apartado 1 ¿Se encuentran nivelados los recursos consumidos? De no ser así proceda a su nivelación.
Análisis de la situación inicial
Para responder este apartado es necesario representar la demanda inicial de recursos a lo largo del tiempo.
Suma de cuadrados: 412
Figura 3: Diagrama de Gantt del proyecto antes de la nivelación
Figura 4: Diagrama de cargas del proyecto de acuerdo a su definición original
La demanda de recursos actual no se encuentra nivelada. Se procede a aplicar el algoritmo de nivelación.
Nivelación
La siguiente tabla indica el valor de la suma de los cuadrados del consumo de los recursos para cada unos de los posibles desplazamientos, en el orden de desplazamiento de las actividades utilizado. El orden seguido ha sido el de las actividades no críticas en orden creciente de periodo de finalización. Se señala en color amarillo el desplazamiento que en cada caso minimiza la suma de cuadrados.
paso 0 de 19
Nivelación por mínimos cuadrados: solución. Cuadro de la suma de cuadrados de las cargas de cada actividad (entre paréntesis, su holgura total) para cada desplazamiento, con el mínimo resaltado, y diagrama de Gantt con cargas resultante. Orden seguido: actividades no críticas por fin más temprano creciente (a igualdad, la de mayor holgura primero), B, C, F, I; cada desplazamiento elegido queda fijado antes de estudiar la siguiente. Pulse «siguiente» para ver cómo se obtiene.
Actividad B (holgura 1): desplazada 0 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 412.
Actividad B (holgura 1): desplazada 1 periodo, la suma de cuadrados de las cargas es 404.
Actividad B: se elige el desplazamiento 1 (suma de cuadrados mínima, 404); queda aplicado para las siguientes actividades.
Actividad C (holgura 2): desplazada 0 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 404.
Actividad C (holgura 2): desplazada 1 periodo, la suma de cuadrados de las cargas es 404.
Actividad C (holgura 2): desplazada 2 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 404.
Actividad C: se elige el desplazamiento 0 (suma de cuadrados mínima, 404); queda aplicado para las siguientes actividades.
Actividad F (holgura 2): desplazada 0 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 404.
Actividad F (holgura 2): desplazada 1 periodo, la suma de cuadrados de las cargas es 404.
Actividad F (holgura 2): desplazada 2 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 404.
Actividad F: se elige el desplazamiento 0 (suma de cuadrados mínima, 404); queda aplicado para las siguientes actividades.
Actividad I (holgura 6): desplazada 0 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 404.
Actividad I (holgura 6): desplazada 1 periodo, la suma de cuadrados de las cargas es 404.
Actividad I (holgura 6): desplazada 2 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 404.
Actividad I (holgura 6): desplazada 3 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 404.
Actividad I (holgura 6): desplazada 4 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 404.
Actividad I (holgura 6): desplazada 5 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 404.
Actividad I (holgura 6): desplazada 6 periodos, la suma de cuadrados de las cargas es 404.
Actividad I: se elige el desplazamiento 0 (suma de cuadrados mínima, 404); queda aplicado para las siguientes actividades.
Atendiendo a los valores de las sumas de cuadrados, los desplazamientos indicados para la nivelación son:
Tabla 9: Desplazamientos para la nivelación
desplazamientos
B
1
C
0
F
0
I
0
El resultado de realizar estos desplazamientos se muestra en el siguiente diagrama de Gantt.
Figura 5: Diagrama de Gantt del proyecto tras la nivelación
Figura 6: Diagrama de cargas del proyecto tras realizar la nivelación
Apartado 4
Partiendo del proyecto en su situación inicial del apartado 1, modifique la planificación del proyecto para poder ejecutarlo con tan sólo 4 recursos como máximo durante los primeros tres periodos, y 8 recursos durante el resto del proyecto.
Análisis de la situación de partida
Recuperamos el estado inicial del proyecto, como se ve en el siguiente diagrama de Gantt.
Figura 7: Diagrama de Gantt previo a la asignación
Figura 8: Diagrama de cargas del proyecto de acuerdo a su definición original, con indicación del límite máximo de recursos
Algoritmo de asignación de Wiest-Levy
A continuación se ejecuta el algoritmo de asignación.
paso 0 de 17
Resultado del algoritmo de asignación con los límites de recursos de la fila «Máximo». En cada periodo, si la demanda supera el límite, se ejecutan primero las actividades ya empezadas, después las de menor holgura total y, a igualdad, las más cortas, mientras la carga acumulada no supere el límite; las demás se posponen un periodo (zz en el diagrama). Pulse «siguiente» para ver cómo se decide periodo a periodo.
Periodo 1: la demanda total (8) supera el máximo (4); hay que decidir qué actividades se ejecutan. Criterio de prioridad: (1) las ya empezadas, que no se interrumpen; (2) menor holgura total H, las más críticas; (3) menor duración d. Orden resultante: 1.º G (carga 4, no empezada, H=0, d=1); 2.º A (carga 2, no empezada, H=0, d=2); 3.º B (carga 2, no empezada, H=1, d=4).
Periodo 1: se recorren las actividades por orden de prioridad acumulando carga. Se ejecutan G; se posponen A, B porque, al añadirlas, la carga acumulada superaría el máximo (4).
Periodo 1: las actividades pospuestas (A, B) se desplazan un periodo, con las que dependen de ellas; este es el diagrama de partida del siguiente periodo.
Periodo 2: la demanda total (6) supera el máximo (4); hay que decidir qué actividades se ejecutan. Criterio de prioridad: (1) las ya empezadas, que no se interrumpen; (2) menor holgura total H, las más críticas; (3) menor duración d. Orden resultante: 1.º A (carga 2, no empezada, H=0, d=2); 2.º B (carga 2, no empezada, H=1, d=4); 3.º H (carga 2, no empezada, H=1, d=11).
Periodo 2: se recorren las actividades por orden de prioridad acumulando carga. Se ejecutan A, B; se posponen H porque, al añadirlas, la carga acumulada superaría el máximo (4).
Periodo 2: las actividades pospuestas (H) se desplazan un periodo, con las que dependen de ellas; este es el diagrama de partida del siguiente periodo.
Periodo 3: la demanda total (6) supera el máximo (4); hay que decidir qué actividades se ejecutan. Criterio de prioridad: (1) las ya empezadas, que no se interrumpen; (2) menor holgura total H, las más críticas; (3) menor duración d. Orden resultante: 1.º A (carga 2, ya empezada, H=0, d=2); 2.º B (carga 2, ya empezada, H=1, d=4); 3.º H (carga 2, no empezada, H=0, d=11).
Periodo 3: se recorren las actividades por orden de prioridad acumulando carga. Se ejecutan A, B; se posponen H porque, al añadirlas, la carga acumulada superaría el máximo (4).
Periodo 3: las actividades pospuestas (H) se desplazan un periodo, con las que dependen de ellas; este es el diagrama de partida del siguiente periodo.
Periodo 4: la demanda total (6) no supera el máximo (8). Se ejecutan todas las actividades previstas: B, H, D.
Periodo 5: la demanda total (6) no supera el máximo (8). Se ejecutan todas las actividades previstas: H, D, B.
Periodo 6: la demanda total (6) no supera el máximo (8). Se ejecutan todas las actividades previstas: H, D, C.
Periodos 7 a 10: la demanda (5, 5, 5, 5) no supera el máximo en ninguno (8, 8, 8, 8), con las mismas actividades (H, E, F); se ejecutan todas y no hay nada que decidir.
Periodos 11 a 13: la demanda (4, 4, 4) no supera el máximo en ninguno (8, 8, 8), con las mismas actividades (H, E); se ejecutan todas y no hay nada que decidir.
Periodo 14: la demanda total (2) no supera el máximo (8). Se ejecutan todas las actividades previstas: H.
Periodos 15 a 16: la demanda (4, 4) no supera el máximo en ninguno (8, 8), con las mismas actividades (J, I); se ejecutan todas y no hay nada que decidir.
Periodos 17 a 22: la demanda (2, 2, 2, 2, 2, 2) no supera el máximo en ninguno (8, 8, 8, 8, 8, 8), con las mismas actividades (J); se ejecutan todas y no hay nada que decidir.
(a) Diagrama de Gantt del proyecto tras la asignación
(b)
Figura 9
Tras esta actuación el proyecto ya es compatible con la restricción impuesta en los recursos.
Figura 10: Diagrama de cargas del proyecto tras el algoritmo de asignación, con indicación del límite máximo de recursos
