Considere el proyecto cuya información se adjunta.
Determine para cada actividad su duración optimista. ¿Influye esta duración optimista en la duración mínima del proyecto?
Determine la duración media del proyecto y su varianza utilizando para ello la aproximación del teorema del límite central.
Determine la probabilidad de que el proyecto se termine antes de 10 periodos.
Planifique el proyecto teniendo en cuenta que durante las primeras tres semanas dispondrá de cuatro trabajadores y a partir de la cuarta de seis trabajadores.
¿Sería suficiente disponer de 4 recursos durante todo el proyecto? ¿Por qué?
predecessor
duration
pesimistic_duration
modal_duration
resources
activity
A
---
2
2
2.00
1
B
A
2
3
2.00
2
C
B
3
4
3.00
2
D
B,J
4
5
4.25
1
E
F,B,J
1
1
1.00
1
F
A
2
3
2.00
2
G
C,D
1
1
1.00
1
H
E
4
5
4.00
1
I
B,J
1
1
1.00
1
J
A
2
2
2.00
1
Solución
Apartado 1
Determine para cada actividad su duración optimista. ¿Influye esta duración optimista en la duración mínima del proyecto?
Si entendemos la duración mínima de un proyecto como la duración media obtenida al utilizar para su cálculo las duraciones tope de las actividades, la duración optimista no causa efecto directo en esta duración. La duración máxima o Pert de una actividad, y su duración tope, son valores medios para los que a su vez podemos entender que existen valores optimístas y pesimístas de la duración. No debemos confundir el cambio en la duración de una actividad provocado de manera consciente mediante el cambio del nivel de esfuerzo aplicado, calidad de herramientas, equipos, técnicas; con la observación de que en un caso concreto la duración resulte ser aleatoriamente mayor o menor.
En lo relativo al cálculo solicitado, A partir de los datos del enunciado y de la relación \(D=\frac{a+4m+b}{6}\) obtenemos la duración optimista \(a=6D-b-4m\).
optimistic_duration
activity
A
2.0
B
1.0
C
2.0
D
2.0
E
1.0
F
1.0
G
1.0
H
3.0
I
1.0
J
2.0
Apartado 2
Determine la duración media del proyecto y su varianza utilizando para ello la aproximación del teorema del límite central.
Cuadro de prelaciones
Comenzamos construyendo el cuadro de prelaciones. Este cuadro nos permitirá construir los grafos Pert o Roy, si atendemos a la información de las filas; o comprobar si el grafo obtenido es correcto, atendiendo a la información de las columnas.
Tabla 1: Cuadro de prelaciones expandido
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
activities
A
B
True
C
True
D
True
True
E
True
True
True
F
True
G
True
True
H
True
I
True
True
J
True
Grafo PERT con numeración de nodos
Figura 1: Grafo Pert con indicación con indicación de los números de nodos
Matriz de Zaderenko
Tabla 2: Matriz de Zaderenko para el cálculo de tiempos tempranos y tardíos
1
2
3
4
5
6
7
8
early
1
2.0
0.0
2
2.0
2.0
2.0
2.0
3
0.0
3.0
4.0
4
0.0
4.0
1.0
4.0
5
1.0
4.0
6
1.0
8.0
7
4.0
5.0
8
9.0
late
0.0
2.0
4.0
4.0
4.0
8.0
5.0
9.0
Los tiempos tempranos y tardios han resultado ser:
Tabla 3: Valores de los tiempos tempranos y tardíos de los nodos
early
late
1
0
0
2
2
2
3
4
4
4
4
4
5
4
4
6
8
8
7
5
5
8
9
9
La información del nodo final del proyecto nos informa de la duración media del proyecto: 9 periodos
Calendario del proyecto
Las fechas de inicio y fin más tempranas y tardías de cada actividad son:
Tabla 4: Calendario del proyecto
inicio_mas_temprano
inicio_mas_tardio
fin_mas_temprano
fin_mas_tardio
H_total
duracion
activity
A
0
0
2
2
0
2
B
2
2
4
4
0
2
C
4
5
7
8
1
3
D
4
4
8
8
0
4
E
4
4
5
5
0
1
F
2
2
4
4
0
2
G
8
8
9
9
0
1
H
5
5
9
9
0
4
I
4
8
5
9
4
1
J
2
2
4
4
0
2
Otras representaciones alternativas
Podemos igualmente representar el cronograma del proyecto bien con un diagrama de Gantt, o un grafo Roy.
Figura 2: Diagrama de Gantt del proyecto
Figura 3: Grafo Roy del proyecto
Holgura total de las actividaes
Para determinar la varianza de la duración del proyecto es necesario determinar la varianza de cada rama del camino crítico. Para ello nos hará falta calcular la holgura total de cada actividad. Aquellas actividades con holgura total cero formarán el camino crítico.
Tabla 5: Valor de la holgura total de las actividades
H_total
@∇B⤑ΔD
0
@∇J⤑ΔE
0
A
0
B
0
C
1
D
0
E
0
F
0
G
0
H
0
I
4
J
0
Las actividades con holgura total igual a cero forman el camino crítico.
Diagrama de red con indicación del camino crítico
El proyecto dado puede ser representado utilizando distintas técnicas. A continuación se muestra el grafo Pert del mismo.
Figura 4: Grafo Pert con indicación del camino crítico
Las rutas del camino crítico son en este caso:
Tabla 6: Rutas del camino crítico
Route_2: A, B, D, G
Route_3: A, B, E, H
Route_5: A, E, F, H
Route_6: A, D, G, J
Route_7: A, E, H, J
Alternativamente, podríamos haber representado el proyecto a traves de su grafo Roy. Se muestra a continuación con indicación de las actividades críticas:
Figura 5: Grafo Roy del proyecto con indicación de las actividades críticas
Varianza del proyecto
Para determinar la varianza del proyecto es necesario conocer la varianza de cada una de las rutas del camino crítico, y para ello la varianza de las actividades que las componen. La varianza de cada actividad no es aportada por el enunciado como dato, pero sí se puede calcular a partir de la expresión \(\sigma^2 = \left(\frac{b-a}{6} \right)\)
Tabla 7: Cálculo de la varianza de la duración de las actividades
pesimistic_duration
optimistic_duration
variance
activity
A
2
2.0
0.00
B
3
1.0
0.11
C
4
2.0
0.11
D
5
2.0
0.25
E
1
1.0
0.00
F
3
1.0
0.11
G
1
1.0
0.00
H
5
3.0
0.11
I
1
1.0
0.00
J
2
2.0
0.00
Conocidos estos valores podemos calcular, mediante el teorema del límite central, la varianza de cada ruta como suma de las varianzas de sus actividades.
Tabla 8: Varianza de las rutas del camino crítico
Activities
Variance
Route_2
A, B, D, G
0.36
Route_3
A, B, E, H
0.22
Route_5
A, E, F, H
0.22
Route_6
A, D, G, J
0.25
Route_7
A, E, H, J
0.11
La varianza de la duración del proyecto es la máxima varianza de las rutas críticas. Para este proyecto es 0.36.
Habitualmente será útil calcular su raiz cuadrada, la desviación típica, para ser utilizada como parámetro de la ley de distribución normal.
La desviación típica es 0.6
Apartado 3
Determine la probabilidad de que el proyecto se termine antes de 10 periodos.
Para un proyecto con duración media 9 y desviación típica 0.6 el valor de la probabilidad de terminar antes de 10 periodos es 95.22 por ciento.
Apartado 4
Planifique el proyecto teniendo en cuenta que durante las primeras tres semanas dispondrá de cuatro trabajadores y a partir de la cuarta de seis trabajadores.
Análisis de la situación inicial
Para responder este apartado es necesario representar la demanda de recursos a lo largo del tiempo.
Figura 6: Distribución inicial del consumo de recursos
Figura 7: Diagrama de cargas del proyecto de acuerdo a su definición original
La demanda de recursos actual infringe el límite impuesto en el enunciado. Es necesario aplicar el algoritmo de asignación. Representamos a continuación la nueva planificación atendiendo a los cambios introducidos de acuerdo al algoritmo de asignación.
Algoritmo de asignación de Wiest-Levy
Figura 8: Planificación del proyecto tras aplicar el algoritmo de asignación
La zona sombreada indica el desplazamiento realizado en las actividades. De acuerdo a los cambios introducidos el proyecto ya es compatible con las restricciones impuestas a los recursos.
Figura 9: Diagrama de cargas del proyecto tras aplicar el algoritmo de asignación
Apartado 5
¿Sería suficiente disponer de 4 recursos durante todo el proyecto? ¿Por qué?
Se analiza ahora la posibilidad de reprogramar el proyecto atendiendo al criterio de que el consumo de recursos no supere el límite de 4 recursos a lo largo de todo el proyecto impuesto por el enunciado del ejercicio. El siguiente diagrama de Gantt muestra la nueva planificación obtenida al aplicar el algoritmo de asignación con el límite impuesto.
Figura 10: Planificación del proyecto tras aplicar el algoritmo de asignación con el nuevo límite
En estas condiciones el proyecto ya es viable con 4 recursos. No obstante su duración se ha prolongado hasta 11 periodos.
Figura 11: Diagrama de cargas del proyecto tras la nueva configuración
